例1 已知函数的图象上的一点
及
临近一点则
.
解:
∴
例2 求在
附近的平均变化率.
解:
所以
所以在
附近的平均变化率为
(二)平均变化率概念
1.上述问题中的变化率可用式子表示,
称为函数从
到
的平均变化率.
2.若设
,
(这里
看作是对于
的一个“增量”可用
代替
,同样
)
则平均变化率为
思考: 观察函数的图象
平均变化率表示什么?
(一)问题提出
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积(单位:
)与半径
(单位:
)之间的函数关系是
如果将半径表示为体积
的函数,那么
分析:
(1)当从
增加到
时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
(2)当从
增加到
时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.
思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度(单位:
)与起跳后的时间
(单位:
)存在函数关系
.如何用运动员在某些时间段内的平均速
度粗略地描述其运动状态?
思考计算: 和
的平均速度
在这段时间里,
在这段时间里,
探究: 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:
(1)运动员在这段时间内使静止的吗?
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
探究过程: 如图是函数的图像,
结合图形可知,,所以
虽然运动员在这段时间里的平均速度为
,
但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,
可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.
导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:
(15) 已知向量.
是否存在实数若存在,则求出x的值;若不存在,则证明之.
(16)如图,在Rt△ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,问
与
的夹角θ取何值时,
·
的值最大?并求出这个最大值.
(17)已知两点M(-1,0), N(1, 0), 且点P使成公差小于零的等差数列.
(Ⅰ)点P的轨迹是什么曲线?
(Ⅱ)若点P的坐标为(x0, y0),
记θ为,
的夹角, 求tanθ.
(18)中,内角
的对边分别是
,已知
成等比数列,且
(Ⅰ)求的值
(Ⅱ)设,求
的值。
(11)已知向量,且A、B、C三点共线,则k=___
(12)已知向量与
的夹角为120°,且|
|=2, |
|=5,则(2
-
)·
=
.
(13已知向量不超过5,则k的取值范围是_______
(14) 直角坐标平面中,若定点
与动点
满足
,则点P的轨迹方程是__________
(1) 若,且
,则向量
与
的夹角为
(
)
A 30° B 60° C 120° D 150°
(2) P是△ABC所在平面上一点,若,则P是△ABC的( )
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
(3)已知平行四边形ABCD中, =(3, 7 ),
=(-2, 3 ), 对角线AC, BD交于点O,
则的坐标为
(
)
A (-, 5) B
(-
, -5)
C
(
, -5) D (
, 5)
(4) 已知向量( )
A 30° B 60° C 120° D 150°
(5)为了得到函数y=sin(2x-)的图像,可以将函数y=cos2x的图像
( )
A 向右平移个单位长度
B 向右平移
个单位长度
C 向左平移个单位长度
D 向左平移
个单位长度
(6) 点P在平面上作匀速直线运动,速度向量=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|
|个单位.设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为
( )
A (-2,4) B (-30,25) C (10,-5) D (5,-10)
(7) 在△ABC中,∠C=90°,则k的值是 ( )
A 5 B -5 C D
(8) 已知、
均为单位何量,它们的夹角为60°,那么|
+ 3
| =
(
)
A B
C
D 4
(9) 已知点A(,1),B(0,0)C(
,0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于E,那么有
等于
( )
A 2
B C -3
D -
(10)
已知向量≠
,|
|=1,对任意t∈R,恒有|
-t
|≥|
-
|,则
( )
A ⊥
B
⊥(
-
) C
⊥(
-
) D (
+
)⊥(
-
)
25.(09年重庆卷)(19分)如题25图,离子源A产生的初速为零、带电量均为e、质量不同的正离子被电压为U0的加速电场加速后匀速通过准直管,垂直射入匀强偏转电场,偏转后通过极板HM上的小孔S离开电场,经过一段匀速直线运动,垂直于边界MN进入磁感应强度为B的匀强磁场。已知HO=d,HS=2d,=90°。(忽略粒子所受重力)
(1)求偏转电场场强E0的大小以及HM与MN的夹角;
(2)求质量为m的离子在磁场中做圆周运动的半径;
(3)若质量为4m的离子垂直打在NQ的中点处,质量为16m的离子打在
处。求
和
之间的距离以及能打在NQ上的正离子的质量范围。
解析:
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