2.理解曲线的切线的概念;
§1.1.3 导数的几何意义
教学目标:
1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;
2.导数的概念.
1.瞬时速度、瞬时变化率的概念.
3.例2中,计算第时和第
时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
2.求曲线在
时的导数.
1.质点运动规律为,求质点在
的瞬时速度为.
例1 (1)求函数在
处的导数.
(2)求函数在
附近的平均变化率,并求出该点处的导数.
分析: 先求,再求
,最后求
.
解: (1)法一 定义法(略)
法二
(2)
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第时,原油的温度(单位:
)为
,计算第
时和第
时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
解: 在第时和第
时,原油温度的瞬时变化率就是
和
根据导数定义
所以 同理可得:
在第时和第
时,原油温度的瞬时变化率分别为
和
,
说明在第附近,原油温度大约以
的速率下降
在第附近,原油温度大约以
的速率上升.
注: 一般地,反映了原油温度在时刻
附近的变化情况.
2.导数的概念
从函数在
处的瞬时变化率是:
我们称它为函数在
出的导数,记作
或
即
说明: (1)导数即为函数在
处的瞬时变化率;
(2),当
时,
,所以
.
1.瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢?比如,时的瞬时速度是多少?考察
附近的情况:
思考: 当
趋近于
时,平均速度
有什么样的变化趋势?
结论: 当趋近于
时,即无论
从小于
的一边,还是从大于
的一边趋近于
时,平均速度
都趋近于一个确定的值
.
从物理的角度看,时间间隔无限变小时,平均速度
就无限趋近于史的瞬时速度.因此,运动员在
时的瞬时速度是
为了表述方便,我们用
表示“当,
趋近于
时,平均速度
趋近于定值
”
小结: 局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.
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