0  429223  429231  429237  429241  429247  429249  429253  429259  429261  429267  429273  429277  429279  429283  429289  429291  429297  429301  429303  429307  429309  429313  429315  429317  429318  429319  429321  429322  429323  429325  429327  429331  429333  429337  429339  429343  429349  429351  429357  429361  429363  429367  429373  429379  429381  429387  429391  429393  429399  429403  429409  429417  447090 

2.求曲线在点处的切线.

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1.求曲线在点处的切线.

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例1 (1)求曲线在点处的切线方程.

(2)求函数在点处的导数.

解: (1)

所以,所求切线的斜率为

因此,所求的切线方程为

(2)因为

所以,所求切线的斜率为,

因此,所求的切线方程为

例2 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数,根据图像,请描述、比较曲线附近的变化情况.

解: 我们用曲线处的切线,

刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.

(1)  当时,曲线处的切线平行于轴,

所以,在附近曲线比较平坦,几乎没有升降.

(2)当时,曲线处的切线的斜率,

所以,在附近曲线下降,

即函数附近单调递减.

(3)当时,曲线处的切线的斜率,

所以,在附近曲线下降,

即函数附近单调递减.

从图3.1-3可以看出,直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度,

这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢.

例3 如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度(单位:)随时间(单位:)变化的图象.根据图像,估计时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到).

解: 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度在此时刻的导数,

从图像上看,它表示曲线在此点处的切线的斜率.

如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,

可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.

处的切线,并在切线上去两点,如,,

则它的斜率为,所以

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:


0.2
0.4
0.6
0.8
药物浓度瞬时变化率
0.4
0
-0.7
-1.4

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(四)函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系

(1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数.

(2)函数的导数,是指某一区间内任意点而言的,就是函数的导函数.

(3)函数在点处的导数就是导函数处的函数值,这也是求函数在点处的导数的方法之一.

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(三)导函数

由函数处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数,那么,当变化时,便是的一个函数,我们叫它为的导函数.

记作:,即.

注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.

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(二)导数的几何意义

函数处的导数等于在该点处的切线的斜率,

说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①求出点的坐标;

②求出函数在点处的变化率得到曲线在点的切线的斜率;

③利用点斜式求切线方程.

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(一)曲线的切线及切线的斜率

如图3.1-2,当沿着曲线趋近于点时,割线的变化趋势是什么?

我们发现,当点沿着曲线无限接近点时,割线趋近于确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.

问题: (1)割线的斜率与切线的斜率有什么关系?

    (2)切线的斜率为多少?

容易知道,割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点时,无限趋近于切线的斜率,即

说明: (1)设切线的倾斜角为,

那么当时,割线的斜率,称为曲线在点处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

     ②切线斜率的本质-函数在处的导数.

(2)曲线在某点处的切线:

1)与该点的位置有关;

2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;

3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.

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(二)瞬时速度、导数

我们知道,导数表示函数处的瞬时变化率,反映了函数附近的变化情况,导数的几何意义是什么呢?

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(一)平均变化率、割线的斜率

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3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题.

教学重点:

曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.

教学难点:

导数的几何意义.

教学过程:

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