2.求曲线在点
处的切线.
1.求曲线在点
处的切线.
例1
(1)求曲线在点
处的切线方程.
(2)求函数在点
处的导数.
解: (1)
所以,所求切线的斜率为
因此,所求的切线方程为即
(2)因为
所以,所求切线的斜率为,
因此,所求的切线方程为即
例2 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数,根据图像,请描述、比较曲线
在
、
、
附近的变化情况.
解: 我们用曲线
在
、
、
处的切线,
刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.
(1)
当时,曲线
在
处的切线
平行于
轴,
所以,在附近曲线比较平坦,几乎没有升降.
(2)当时,曲线
在
处的切线
的斜率
,
所以,在附近曲线下降,
即函数在
附近单调递减.
(3)当时,曲线
在
处的切线
的斜率
,
所以,在附近曲线下降,
即函数在
附近单调递减.
从图3.1-3可以看出,直线的倾斜程度小于直线
的倾斜程度,
这说明曲线在附近比在
附近下降的缓慢.
例3 如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度(单位:
)随时间
(单位:
)变化的图象.根据图像,估计
时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到
).
解: 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度在此时刻的导数,
从图像上看,它表示曲线在此点处的切线的斜率.
如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,
可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.
作处的切线,并在切线上去两点,如
,
,
则它的斜率为,所以
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:
![]() |
0.2 |
0.4 |
0.6 |
0.8 |
药物浓度瞬时变化率![]() |
0.4 |
0 |
-0.7 |
-1.4 |
(四)函数在点
处的导数
、导函数
、导数之间的区别与联系
(1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数.
(2)函数的导数,是指某一区间内任意点而言的,就是函数
的导函数.
(3)函数在点
处的导数
就是导函数
在
处的函数值,这也是求函数在点
处的导数的方法之一.
(三)导函数
由函数在
处求导数的过程可以看到,当
时,
是一个确定的数,那么,当
变化时,便是
的一个函数,我们叫它为
的导函数.
记作:或
,即
.
注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.
(二)导数的几何意义
函数在
处的导数等于在该点
处的切线的斜率,
即
说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出点的坐标;
②求出函数在点处的变化率
得到曲线在点
的切线的斜率;
③利用点斜式求切线方程.
(一)曲线的切线及切线的斜率
如图3.1-2,当沿着曲线
趋近于点
时,割线
的变化趋势是什么?
我们发现,当点沿着曲线无限接近点
即
时,割线
趋近于确定的位置,这个确定位置的直线
称为曲线在点
处的切线.
问题: (1)割线的斜率
与切线
的斜率
有什么关系?
(2)切线的斜率
为多少?
容易知道,割线的斜率是
,当点
沿着曲线无限接近点
时,
无限趋近于切线
的斜率
,即
说明: (1)设切线的倾斜角为,
那么当时,割线
的斜率,称为曲线在点
处的切线的斜率.
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质-函数在处的导数.
(2)曲线在某点处的切线:
1)与该点的位置有关;
2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.
(二)瞬时速度、导数
我们知道,导数表示函数在
处的瞬时变化率,反映了函数
在
附近的变化情况,导数
的几何意义是什么呢?
(一)平均变化率、割线的斜率
3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题.
教学重点:
曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.
教学难点:
导数的几何意义.
教学过程:
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