2.椭圆的标准方程:,
(
)
1.椭圆定义:在平面内,到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的动点的轨迹.
5.如图,已知圆C:(x+4)2+y2=4。圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切。圆 D与y轴交于A、B两点,点P为(-3,0).
(1)若点D坐标为(0,3),求∠APB的正切值;
(2)当点D在y轴上运动时,求∠APB的正切值的最大值;
(3)在x轴上是否存在定点Q,当圆D在y轴上运动时,∠AQB是定值?如果存在,求出点Q坐标;如果不存在,说明理由.
§7.2圆锥曲线
4.设正方形ABCD(A、B、C、D顺时针排列)的外接圆方程为x2+y2-6x+a=0(a<9),C、D点所在直线l的斜率为.
(1)求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率;
(2)如果在x轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点,以x轴为对称轴的抛物线上,求此抛物线的方程及直线l的方程;
(3)如果ABCD的外接圆半径为2,在x轴上方的A、B两点在一条以x轴为对称轴的抛物线上,求此抛物线的方程及直线l的方程.
3. 如果实数x、y满足等式(x-2)2+y2=3,则的最大值为:
.
2.已知直线x=a(a>0)和圆(x-1)2+y2=4相切 ,那么a的值是( )
A.5 B.4 C.3 D.2
1.直线截圆
得的劣弧所对的圆心角为 (
)
A. B. C. D.
[例1]直线l经过P(2,3),且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程.
错解:设直线方程为:,又过P(2,3),∴
,求得a=5
∴直线方程为x+y-5=0.
错因:直线方程的截距式: 的条件是:
≠0且b≠0,本题忽略了
这一情形.
正解:在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:,
∴直线方程为y=x
综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=x
.
[例2]已知动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P的轨迹方程.
错解:设动点P坐标为(x,y).由已知3
化简3=x2-2x+1+y2-6y+9
.
当x≥0时得x2-5x+y2-6y+10=0 . ①
当x<0时得x2+ x+y2-6y+10=0 . ②
错因:上述过程清楚点到y轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得
(x-)2+(y-3)2 = ① 和 (x+)2+(y-3)2 = - ②
两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现.
正解: 接前面的过程,∵方程①化为(x-)2+(y-3)2 = ,方程②化为(x+)2+(y-3)2 = - ,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P的轨迹方程为: (x-)2+(y-3)2 = (x≥0)
[例3]m是什么数时,关于x,y的方程(2m2+m-1)x2+(m2-m+2)y2+m+2=0的图象表示一个圆?
错解:欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆,只要A=C≠0,
得2m2+m-1=m2-m+2,即m2+2m-3=0,解得m1=1,m2=-3,
∴当m=1或m=-3时,x2和y2项的系数相等,这时,原方程的图象表示一个圆
错因:A=C,是Ax2+Cy2+F=0表示圆的必要条件,而非充要条件,其充要条件是:
A=C≠0且<0.
正解:欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆,只要A=C≠0,
得2m2+m-1=m2-m+2,即m2+2m-3=0,解得m1=1,m2=-3,
(1) 当m=1时,方程为2x2+2y2=-3不合题意,舍去.
(2) 当m=-3时,方程为14x2+14y2=1,即x2+y2=,原方程的图形表示圆.
[例4]自点A(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线L所在的直线方程.
错解:设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称,L过点A(-3,3),点A关于x轴的对称点A′(-3,-3),于是L′过A(-3,-3).
设L′的斜率为k,则L′的方程为y-(-3)=k[x-(-3)],即kx-y+3k-3=0,
已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2=1,圆心O的坐标为(2,2),半径r=1
因L′和已知圆相切,则O到L′的距离等于半径r=1
即
整理得12k2-25k+12=0
解得k= L′的方程为y+3=
(x+3)
即4x-3y+3=0 因L和L′关于x轴对称
故L的方程为4x+3y+3=0.
错因:漏解
正解:设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称,L过点A(-3,3),点A关于x轴的对称点A′(-3,-3), 于是L′过A(-3,-3).
设L′的斜率为k,则L′的方程为y-(-3)=k[x-(-3)],即kx-y+3k-3=0,
已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2=1,圆心O的坐标为(2,2),半径r=1
因L′和已知圆相切,则O到L′的距离等于半径r=1
即
整理得12k2-25k+12=0
解得k=或k=
L′的方程为y+3=(x+3);或y+3=
(x+3)。
即4x-3y+3=0或3x-4y-3=0
因L和L′关于x轴对称
故L的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
[例5]求过直线和圆
的交点,且满足下列条件之一的圆的方程:
(1) 过原点;(2)有最小面积.
解:设所求圆的方程是:
即:
(1)因为圆过原点,所以,即
故所求圆的方程为:.
(2) 将圆系方程化为标准式,有:
当其半径最小时,圆的面积最小,此时为所求.
故满足条件的圆的方程是.
点评:(1)直线和圆相交问题,这里应用了曲线系方程,这种解法比较方便;当然也可以待定系数法。(2)面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义,即直线与相交弦为直径时圆面积最小.
[例6](06年辽宁理科)已知点A(),B(
)(
≠0)是抛物线
上的两个动点,O是坐标原点,向量
满足|
|=|
|.设圆C的方程为
(1)证明线段AB是圆C的直径;
(2)当圆C的圆心到直线的距离的最小值为
时,求
的值.
解:(1)证明 ∵||=|
|,∴(
)2=(
)2,
整理得:=0 ∴
+
=0
设M()是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则
=0
即 +
=0
整理得:
故线段AB是圆C的直径.
(2)设圆C的圆心为C(),则
∵,
∴
又∵+
=0 ,
=-
∴-
∵≠0,∴
≠0
∴=-4
=
所以圆心的轨迹方程为
设圆心C到直线的距离为d,则
=
当=
时,d有最小值
,由题设得
=
∴=2.
2.两圆的位置关系的判定方法.
设两圆圆心分别为O1、O2,半径分别为1,
2,|O1O2|为圆心距,则两圆位置关系如下:
|O1O2|>1+
2
两圆外离;
|O1O2|=1+
2
两圆外切;
| 1-
2|<|O1O2|<
1+
2
两圆相交;
| O1O2 |=|1-
2|
两圆内切;
0<| O1O2|<| 1-
2|
两圆内含.
1.直线与圆的位置关系的判定方法.
(1)方法一 直线:;圆:
.
一元二次方程
(2)方法二 直线: ;圆:
,圆心(
,b)到直线的距离为
d=
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