3.平面内有两定点上,求一点P使
取得最大值或最小值,并求出最大值和最小值.
2.已知点(-2,3)与抛物线y2=2px(p>0)的焦点 的距离是5,则p= .
1. 设双曲线两焦点为F1、F2,点Q为双曲线上除顶点外的任一点,过F1作∠F1QF2的平分线的垂线,垂足为P,则点P的轨迹是 ( )
A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分
C.抛物线的一部分 D.圆的一部分.
[例1]设双曲线的渐近线为:,求其离心率.
错解:由双曲线的渐近线为:,可得:
,从而
剖析:由双曲线的渐近线为是不能确定焦点的位置在x轴上的,当焦点的位置在y轴上时,
,故本题应有两解,即:
或
.
[例2]设点P(x,y)在椭圆上,求
的最大、最小值.
错解:因 ∴
,得:
,同理得:
,故
∴最大、最小值分别为3,-3.
剖析:本题中x、y除了分别满足以上条件外,还受制约条件的约束.当x=1时,y此时取不到最大值2,故x+y的最大值不为3.其实本题只需令
,则
,故其最大值为
,最小值为
.
[例3]已知双曲线的右准线为,右焦点
,离心率
,求双曲线方程.
错解一: 故所求的双曲线方程为
错解二:
由焦点知
故所求的双曲线方程为
错因: 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点,而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误,而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件,都会产生错误解法.
解法一:
设为双曲线上任意一点,因为双曲线的右准线为
,右焦点
,离心率
,由双曲线的定义知
整理得
解法二: 依题意,设双曲线的中心为,
则 解得
,所以
故所求双曲线方程为
[例4]设椭圆的中心是坐标原点,长轴在轴上,离心率
,已知点
到这个椭圆上的最远距离是
,求这个椭圆的方程.
错解:依题意可设椭圆方程为
则 ,
所以 ,即
设椭圆上的点到点
的距离为
,
则
所以当时,
有最大值,从而
也有最大值。
所以 ,由此解得:
于是所求椭圆的方程为
错因:尽管上面解法的最后结果是正确的,但这种解法却是错误的。结果正确只是碰巧而已。由当时,
有最大值,这步推理是错误的,没有考虑
到的取值范围.事实上,由于点
在椭圆上,所以有
,因此在求
的最大值时,应分类讨论.
正解:若,则当
时,
(从而
)有最大值.
于是从而解得
.
所以必有,此时当
时,
(从而
)有最大值,
所以,解得
于是所求椭圆的方程为
[例5]从椭圆,(
>b>0)上一点M向x轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1,A、B分别是椭圆长、短轴的端点,AB∥OM.设Q是椭圆上任意一点,当QF2⊥AB时,延长QF2与椭圆交于另一点P,若⊿F1PQ的面积为20
,求此时椭圆的方程.
解:本题可用待定系数法求解.
∵b=c, =
c,可设椭圆方程为
.
∵PQ⊥AB,∴kPQ=-,则PQ的方程为y=
(x-c),
代入椭圆方程整理得5x2-8cx+2c2=0,
根据弦长公式,得,
又点F1到PQ的距离d=c
∴ ,由
故所求椭圆方程为.
[例6]已知椭圆:,过左焦点F作倾斜角为
的直线交椭圆于A、B两点,求弦AB的长.
解:a=3,b=1,c=2; 则F(-2
,0)
由题意知:与
联立消去y得:
设A(、B(
,则
是上面方程的二实根,由违达定理,
,
又因为A、B、F都是直线
上的点,
所以|AB|=
点评:也可利用“焦半径”公式计算.
[例7](06年全国理科)设P是椭圆短轴的一个端点,Q为椭圆上的一个动点,求|PQ|的最大值.
解: 依题意可设P(0,1),Q(),则|PQ|=
,又因为Q在椭圆上,所以,
,|PQ|2=
=
=.
因为≤1,
>1,若
≥
,则
≤1,当
时,|PQ|取最大值
;若1<
<
,则当
时,|PQ|取最大值2.
[例8]已知双曲线的中心在原点,过右焦点F(2,0)作斜率为的直线,交双曲线于M、N 两点,且
=4,求双曲线方程.
解:设所求双曲线方程为,由右焦点为(2,0).知C=2,b2=4-
2
则双曲线方程为,设直线MN的方程为:
,代入双曲线方程整理得:(20-8
2)x2+12
2x+5
4-32
2=0
设M(x1,y1),N(x2,y2),则,
.
解得 ,
.
故所求双曲线方程为:.
点评:利用待定系数法求曲线方程,运用一元二次方程的根与系数关系将两根之和与积整体代入,体现了数学的整体思想,也简化了计算,要求学生熟练掌握.
19.抛物线的焦半径公式:
抛物线,
抛物线,
抛物线,
抛物线,
4.抛物线的几何性质
(1)范围
因为p>0,由方程可知,这条抛物线上的点M的坐标(x,y)满足不等式x≥0,所以这条抛物线在y轴的右侧;当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
(2)对称性
以-y代y,方程不变,所以这条抛物线关于x轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
(3)顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程中,当y=0时,x=0,因此抛物线
的顶点就是坐标原点.
(4)离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e表示.由抛物线的定义可知,e=1.
3.共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴,这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线. 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上. 确定双曲线的共轭双曲线的方法:将1变为-1.
2.共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为,那么此双曲线方程就一定是:
或写成
.
椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线,它们的定义、标准方程及其推导过程以及简单的几何性质都存在着相似之处,也有着一定的区别,因此,要准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系
1.等轴双曲线
定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,这样的双曲线叫做等轴双曲线. 等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为:;(2)渐近线互相垂直;(3)离心率
.
13. 抛物线定义:
平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点,定直线
叫做抛物线的准线.
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