3.圆锥曲线的统一定义
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.
其中定点F(c,0)称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率.
当0<e<1时,轨迹为椭圆
当e=1时,轨迹为抛物线
当e>1时,轨迹为双曲线
2.点与曲线的关系 若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y0)=0;
点P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0)≠0两条曲线的交点 若曲线C1,C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1,C2的交点
方程组有n个不同的实数解,两条曲线就有n个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没有交点.
1.方程的曲线
在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.
9.设曲线C的方程是y=x3-x,将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t,s单 位长度后得曲线C1.
(1)写出曲线C1的方程;
(2)证明曲线C与C1关于点A()对称;
(3)如果曲线C与C1有且仅有一个公共点,证明s=且t≠0.
§7.4轨迹问题
5. 如图,过抛物线y2=4x的顶点O作任意两条互相垂直的弦OM、ON,求(1)MN与x轴交点的坐标;(2)求MN中点的轨迹方程.
4. 设过原点的直线l与抛物线y2=4(x-1)交于A、B两点,且以AB为直径的圆恰好过抛物线的焦点F,
(1)求直线l的方程;
(2)求|AB|的长.
3.
试求m的取值范围.
2.直线m:y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A、B两点,直线l过点P(-2,0)和线段AB的中点,则直线l在y轴上的截距b的取值范围为
1.顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线l:y=2x+1截得的弦长为,则抛物线方程为
[例1]求过点的直线,使它与抛物线
仅有一个交点.
错解: 设所求的过点的直线为
,则它与抛物线的交点为
,消去
得
整理得
直线与抛物线仅有一个交点,
解得
所求直线为
正解: ①当所求直线斜率不存在时,即直线垂直轴,因为过点
,所以
即
轴,它正好与抛物线
相切.②当所求直线斜率为零时,直线为y = 1平行
轴,它正好与抛物线
只有一个交点.③一般地,设所求的过点
的直线为
,则
,
令
解得k = ,∴ 所求直线为
综上,满足条件的直线为:
[例2]已知曲线C:与直线L:
仅有一个公共点,求m的范围.
错解:曲线C:可化为
①,联立
,得:
,由Δ=0,得
.
错因:方程①与原方程并不等价,应加上.
正解:原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.(如图),结合图形易求得m的范围为.
注意:在将方程变形时应时时注意范围的变化,这样才不会出错.
[例3]已知双曲线,过P(1,1)能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点,且P为AB中点.
错解:(1)过点P且与x轴垂直的直线显然不符合要求.
(2)设过P的直线方程为,代入
并整理得:
∴,又∵
∴
解之得:k=2,故直线方程为:y=2x-1,即直线是存在的.
正解:接以上过程,考虑隐含条件“Δ>0”,当k=2时代入方程可知Δ<0,故这样的直线不存在.
[例4]已知A、B是圆
与x轴的两个交点,CD是垂直于AB的动弦,直线AC和DB相交于点P,问是否存在两个定点E、F, 使 | | PE |-| PF | | 为定值?若存在,求出E、F的坐标;若不存在,请说明理由.
解:由已知得 A (-1, 0 )、B ( 1, 0 ),
设
P ( x, y ), C ( )
, 则 D (
),
由A、C、P三点共线得
①
由D、B、P三点共线得
②
①×② 得 ③
又 , ∴
, 代入③得
,
即点P在双曲线上,
故由双曲线定义知,存在两个定点E (-
,
0 )、
F (,
0 )(即此双曲线的焦点),使 | | PE |-| PF | | = 2 (即此双曲线的实轴长为定值).
[例5]已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1 与该椭圆相交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=,求椭圆的方程.
解:设所求椭圆的方程为=1.
依题意知,点P、Q的坐标满足方程组:
将②代入①,整理得
,
③
设方程③的两个根分别为、
,则直线y=x+1和椭圆的交点为
P(,
+1),Q(
,
+1)
由题设OP⊥OQ,|OP|=,可得
整理得
解这个方程组,得
或
根据根与系数的关系,由③式得
(1) 或 (2)
解方程组(1)、(2)得
或
故所求椭圆方程为
=1 , 或
=1.
[例6]已知椭圆C1:=1,抛物线C2:
,且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点。(1)当AB⊥
轴时,求
、
的值,并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;(2)若
=
,且抛物线C2的焦点在直线AB上,求
的值及直线AB的方程.
解:(1)当AB⊥轴时,点A、B关于
轴对称,所以
=0,直线AB的方程为
=1,
从而点A的坐标为(1,)或(1,-
),
因为点A在抛物线上,所以,
=
.
此时,抛物线C2的焦点坐标为(,0),该焦点不在直线AB上.
(2)当抛物线C2的焦点在直线AB上时,由(1)知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为 .
由
消去
得
①
设A、B的坐标分别为 ()、(
).
则,
是方程①的两根,
+
=
.
因为AB既是过C1的右焦点的弦,又是C2的焦点的弦,
所以|AB|=(2-)+(2-
)=4-
,且
|AB|=()+(
)=
=
.
从而=4-
所以,即
解得.
因为C2的焦点F、()在直线
上,所以
,
即
当时直线AB的方程为
;
当时直线AB的方程为
.
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