3.已知函数

(1)求f(x)的定义域；(2)作出f(x)的图形；(3)判断f(x)是否处处连续.

解：(1)f(x)的定义域是［－4，3.5］.

(2)f(x)的图象如图所示.

(3)由f(x)的图象可知，在定义域［－4，3.5］上，f(x)在点x=－1处不连续，因为f(x)在x=－1处没有极限.

点评：分段函数的定义域是其各段定义域的并集，易知基本初等函数在其定义域内都是连续的，因此分段函数在其各段内也是连续的，重点应判断各段的交界处是否连续，对这些点应用连续的定义判断，凡其图象在某点处断开，则函数在该点处不连续.

2.利用下列函数的图象，说明函数在给定点处是否连续.

(1)f(x)=，点x=0

解：∵f(x)在x=0处没有定义. ∴f(x)在x=0处不连续.

(2)f(x)=|x|.点x=0

解：∵f(x)=0=f(0),∴f(x)在x=0处连续.

1．下面我们直接从图中，观察函数x=a处是否连续，并说出理由.

(1)　　　　　　 　　(2)　 　　(3)　　 　　　　　 (4)

(1)连续.因为函数在点x=a处有定义，极限存在，并且极限值等于在a点的函数值.(如图(1))

　(2)不连续.因为函数在x=a处的极限值不等于在x=a处的函数值.(如图(2))

(3)连续.因为函数在点x=a处，有定义，有极限，极限值等于函数值.(如图(3))

(4)不连续.因为函数在x=a处没有极限.(如图(4))

(5)不连续.因为函数在x=a处没有定义.(如图(5))

例1 讨论下列函数在给定点处的连续性.

(1)f(x)=，点x=0.　 (2)g(x)=sinx，点x=0.

分析：我们如果要很直观地看在给定点是否连续，画图方法最方便．

我们已经画出了两个函数的图象了.从图中，我们可以直接看出在x=0处函数连续的情况，

函数f(x)=在点x=0处不连续，因为函数f(x)=在点x=0处没有定义.

函数g(x)=sinx在点x=0处连续，因为函数g(x)=sinx，在x=0及附近都有定义，sinx存在且sinx=0而sin0=0.

解：(1)∵函数f(x)=在点x=0处没有定义　　 ∴它在点x=0处不连续.

解：(2)∵sinx=0=sin0，∴函数g(x)=sinx在点x=0处是连续的.

点评：写g(x)=sinx在点x=0处连续只要把第三个条件写一下就可以，因为它已经包含前两个条件了，我们已经知道函数在一点连续的定义了．

例2　 求f(x)=x　 x∈［－1，1］的最大值和最小值．

解：最大值　 f(1)=1；最小值　 f(－1)=－1．

7.最大值最小值定理

如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值

我们现在已经学习了函数在一点连续的定义，和需要满足的三个条件，下面看两个例子，看在给定点处是否连续，都要说明理由的

6.最小值

f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对于任意x∈［a，b］，f(x₂)≤f(x)，那么f(x)在点x₂处有最小值f(x₂).

由图我们可以知道，函数f(x)在［a，b］上连续，则一定有最大最小值，这是闭区间上连续函数的一个性质.最大，最小值可以在(a，b)内的点取到，也可以在a，b两个端点上取到.

5.最大值

f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对于任意x∈［a，b］，f(x₁)≥f(x)，那么f(x)在点x₁处有最大值f(x₁).

4.函数f(x)在［a，b］上连续的定义：

如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有f(x)=f(a)，在右端点x=b处有f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数.

如果函数f(x)在闭区间［a，b］上是连续函数，那它的图象肯定是一条连续曲线.

我们来看这张图，它是连续的，在a、b两点的值都是取到，所以它一定有一个最高点和一个最低点，假设在x₁这点最高；那么它的函数值最大，就是说［a，b］区间上的各个点的值都不大于x₁处的值，用数学语言表示就是f(x₁)≥f(x)，x∈［a，b］，同理，设x₂是最低点，f(x₂)≤f(x)，x∈［a，b］.

3.函数f(x)在(a，b)内连续的定义：

如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a，b)内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续函数.

f(x)在开区间(a，b)内的每一点以及在a、b两点都连续，现在函数f(x)的定义域是［a，b］，若在a点连续，则f(x)在a点的极限存在并且等于f(a)，即在a点的左、右极限都存在，且都等于f(a)， f(x)在(a，b)内的每一点处连续，在a点处右极限存在等于f(a)，在b点处左极限存在等于f(b).

2. 函数在一点连续的定义: 如果函数f(x)在点x=x₀处有定义，f(x)存在，且f(x)=f(x₀)，那么函数f(x)在点x=x₀处连续.

由第三个条件，f(x)=f(x₀)就可以知道f(x)是存在的，所以我们下定义时可以再简洁一点. 函数f(x)在点x₀处连续的定义.

如果函数y=f(x)在点x=x₀处及其附近有定义，并且f(x)=f(x₀)，就说函数f(x)在点x₀处连续.

那怎么根据在一点连续的定义来定义在一个开区间(a，b)内连续的定义．　区间是由点构成的，只要函数f(x)在开区间内的每一个点都连续，那么它在开区间内也就连续了.