3．用能量守恒定律解题的步骤

①确定研究的对象和范围，分析在研究的过程中有多少种不同形式的能(包括动能、势能、内能、电能等)发生变化．

②找出减少的能并求总的减少量ΔE_减，找出增加的能并求总的增加量ΔE_增

③由能量守恒列式，ΔE_减=ΔE_增。

④代入已知条件求解．

[例6]如图所示，边长为am的正方体木箱的质量为100kg，一人采用翻滚木箱的方法将其移动10 m远，则人对木箱做的功至少要多少J？(g取 10m／s²)

　　 解析：人翻滚木箱，若要做功最小，则需要缓慢(或匀速)翻转木箱，不使木箱动能增大，即ΔE_k=0，因此，人对木箱做功，仅需要克服木箱的重力做功(木箱在翻滚一次过程中重心升高一次)，而且翻转木箱的外力 F必须最小，即外力作用点应取在A点，并使外力方向与正方体木箱纵截面的对角线相垂直，外力对转轴O的力臂最大，外力F的力矩始终与木箱重力G的力矩平衡．

　　 在木箱翻转前一半过程中，重力G的力臂逐渐减小，外力F的力臂不变，因此，外力F逐渐减小，方向也在不断改变，此过程属变力做功过程．这种情况下求外力F的功等于物体重力势能的增加．

将木箱翻滚一次，木箱向前移动am，若将木箱向前移动10 m远，需要翻转的次数为n=10/a，W_合=mgh，　　 W_F-W_G=0； W_F-[mg(a－)]×=0

所以W_F =5mg(－1)=5×100×10(－1)＝5000(－1)J

　　 答案：5000(－1)J

[例7]：一货车车厢匀速前进时，砂子从车厢上方的漏斗落进车厢，在t秒内落进车厢内的砂子的质量为m，为维持车厢以速度V匀速前进，需加一水平推力，问该推力的功率为多少？

[解析]：将上述过程分段讨论如图，B表示以速度V匀速运动的货车，A表示落于车上的砂子，设经过时间t后，AB相对静止，此过程中A的位移为S₁，B的位移为S₂。显然，S₁=Vt/2，S2=Vt，故S₁/S₂=1/2 。

摩擦力对A做功W₁=f·S₁=½mv²，功率为P₁=½mv²/t

因B匀速运动，故F=f，外力对B做功为W₂=FS₂=fs₂=mv²，

功率为P₂= mv²/t

[例8]：人们在工作、学习和劳动都需要能量，食物在人体内经消化过程；志化为葡萄糖，葡萄糖的分子式为C₆H₁₂O₆，葡萄糖在体内又转化为CO₂和H₂O，同时产生能量E=2.80×10⁶J/mol。一个质量为60kg的短跑运动员起跑时以1/6s的时间冲出1m远，他在这一瞬间消耗体内储存的葡萄糖多少克？

解：运动员在起跑时做变加速度运动，由于时间很短，为解决问题的方便，我们可以认为在1/6s内运动员做初速为零的匀加速运动。由S=(V₀+V_t)/2·t得运动员冲出1m时的末速度为V_t=2S/t=(2×1)÷1/6=12m/s。运动员在1/6s内增加的动能ΔE_k=½mV_t²－½mV₀²=½×60×12²=4320J。消耗的葡萄糖的质量为：Δm=ΔE_k/E×180g=0.28g.

[翰林汇例9]：如图半径分别为R和r的甲、乙两圆形轨道放置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条水平轨道CD相连，现有一小球从斜面上高为3R处的A点由静止释放，要使小球能滑上乙轨道并避免出现小球脱离圆形轨道而发生撞轨现象，试设计CD段可取的长度。小球与CD段间的动摩擦因数为μ，其作各段均光滑。

{解析}：有两种情况，一种是小球恰过乙轨道

最高点，在乙轨道最高点的mg=mv²/r，从开始运

动到乙轨道最高点，由动能定理得

mg(3R-2r)-μmgCD=½mv²-0联立解得

CD=(6R-5r)/2μ，故应用CD＜(6R-5r)/2μ。

另一种是小球在乙轨道上运动¼圆周时，速度变为零，由mg(3R-r)=μmgCD解出CD=(3R-r)/μ，故应有CD＞(3R-r)/μ

[例10]如图所示，三个质量均为m的弹性小球用两根长均为L的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上．现给中间的小球B一个水平初速度v₀，方向与绳垂直．小球相互碰撞时无机械能损失，轻绳不可伸长．求：

(1)当小球A、C第一次相碰时，小球B的速度．

(2)当三个小球再次处在同一直线上时，小球B的速度．

(3)运动过程中小球A的最大动能E_KA和此时两根绳的夹角θ.

(4)当三个小球处在同一直线上时，绳中的拉力F的大小．

解析：(1)设小球A、C第一次相碰时，小球B的速度为，考虑到对称性及绳的不可伸长特性，小球A、C沿小球B初速度方向的速度也为，由动量守恒定律，得　 由此解得

(2)当三个小球再次处在同一直线上时，则由动量守恒定律和机械能守恒定律，得

,

解得　 (三球再次处于同一直线)，(初始状态，舍去)

所以，三个小球再次处在同一直线上时，小球B的速度为(负号表明与初速度反向)

(3)当小球A的动能最大时，小球B的速度为零。设此时小球A、C的速度大小为，两根绳间的夹角为θ(如图)，则仍由动量守恒定律和机械能守恒定律，得

另外，

由此可解得，小球A的最大动能为，此时两根绳间夹角为

(4)小球A、C均以半径L绕小球B做圆周运动，当三个小球处在同一直线上时，以小球B为参考系(小球B的加速度为0，为惯性参考系)，小球A(C)相对于小球B的速度均为所以，此时绳中拉力大小为

[例11]如图所示，质量m_A为4.0kg的木板A放在水平面C上，木板与水平面间的动摩擦因数μ为0.24，木板右端放着质量m_B为1.0kg的小物块B(视为质点)，它们均处于静止状态。木块突然受到水平向右的12N·s的瞬时冲量I作用开始运动，当小物块滑离木板时，木板的动能E_kA为8.0J，小物块的动能E_kB为0.50J，重力加速度取10m/s²，求：

(1)瞬时冲量作用结束时木板的速度v₀；

(2)木板的长度L。

解：(1)设水平向右为正方向，有

I=m_Av₀

代入数据解得　 v₀=3.0m/s

(2)设A对B、B对A、C对A的滑动摩擦力的大小分别为F_AB、F_BA和F_CA，B在A上滑行的时间为t，B离开A时A和B的速度分别为v_A和v_B，有

2．摩擦力做功的过程能量转化的情况

(1)静摩擦力做功的特点

　①静摩擦力可以做正功，也可以做负功还可能不做功．

　②在静摩擦力做功的过程中，只有机械能从一个物体转移到另一个物体(静摩擦力起着传送机械能的作用)，而没有机械能转化为其他形式的能量．

　③相互摩擦的系统，一对静摩擦力所做功的代数和总等于零．

(2)滑动摩擦力做功的特点：

　①滑动摩擦力可以做正功，也可以对物体做负功，还可以不做功(如相对运动的两物体之一对地面静止，则滑动摩擦力对该物不做功)．

　②在相互摩擦的物体系统中，一对相互作用的滑动摩擦力，对物体系统所做总功的多少与路径有关，其值是负值，等于摩擦力与相对路程的积，即W_f=f_滑·S_相对

　表示物体系统损失机械能克服了摩擦力做功，ΔE_损= f_滑·S_相对=Q(摩擦生热)．

　③一对滑动摩擦力做功的过程，能量的转化和转移的情况：一是相互摩擦的物体通过摩擦力做功将部分机械能转移另一个物体上，二是部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量．

[例4]水平传送带以速度V匀速传动，一质量为m的小木块A由静止轻放在传送带上，若小木块与传送带间的动摩擦因数为μ，如图所示，在小木块与传送带相对静止时，转化为内能的能量为

　　 A．mv²　 B．2mv²　　 C．¼ mv²　 D．½ mv²

　　 分析：小物块刚放在带子上时处于静止状态，与带子有相对滑动，受向前的滑动摩擦力，使物块加速，最终与带子速度相同均为V．

　　 由于题目要求出转化为内能的能量，必须求出滑动摩擦力对系统做的总功，再由ΔE= f_滑·S_相对求解

[解析]物块所受的滑动摩擦力为：　 f＝μmg，

　　 物块加速度a=f/m=μg．

　　 加速至v的时间　　　 t＝v/a=v/μg．

　　 物块对地面运动的位移　　　 Sa=½vt=v²/2μg．

　　 这段时间内带向前位移　　　 S_带=Vt＝v²/μg

　　 则物块相对于带向后滑动路程

　　　 s_相对=s_带-s_A= v²/2μg

　　 根据能量守恒定律

　　 ΔE内＝f·s_相对=μmg·v²/2μg=½m v²

点评：进一步分析，在题设过程中，传送带克服摩擦力的功 W＝f·S_带＝μmg·v²/μg=m v²，只有一部分传给了物块使其动能增加为½m v²，另一部分转化为内能，所以此题也可以这样求解．ΔE_内＝w一½mv²＝mv²一½mv²=½mv²

　　 通过解答此题一定要理解“摩擦生热”指的是滑动摩擦“生热，在相对滑动的过程中，通过摩擦力对系统做功来求解必须求出摩擦力在相对路程上的功

[例5]如图5-20所示，木块A放在木块B上左端，用力F将A拉至B的右端，第次将B固定在地面上，F做功为W₁，生热为Q₁；第二次让B可以在光滑地面上自由滑动，这次F做的功为W₂，生热为Q₂，则应有　 　

A． W₁＜W₂， Q₁= Q₂　　　　　　 B． W₁= W₂， Q₁＝Q₂

　　 C． W₁＜W₂， Q₁＜Q₂　　　　　　 D． W₁＝W₂， Q₁＜Q₂

　　 解析：设B的长度为d，则系统损失的机械能转化为内能的数量Q₁＝Q₂=μm_Agd，所以 C、D都错．

在两种情况下用恒力F将A拉至B的右端的过程中．第二种情况下A对地的位移要大于第一种情况下A对地的位移，所以 W₂＞W₁，B错

　　 答案：A

　　 能量既不能凭空产生，也不能凭空消失，它只能从一种形式的能转化为另一种形式的能，或者从一个物体转移到另一个物体，能的总量保持不变。

1．应用能量守恒定律的两条思路：

　　 (1)某种形式的能的减少量，一定等于其他形式能的增加量．

　　 (2)某物体能量的减少量，一定等于其他物体能量的增加量．

[例2]如图所示，一轻弹簧一端系在墙上的O点，自由伸长到B点，今将一质量m的小物体靠着弹簧，将弹簧压缩到A点，然后释放，小物体能在水平面上运动到C点静止，AC距离为S；若将小物体系在弹簧上，在A由静止释放，小物体将做阻尼运动到最后静止，设小物体通过总路程为l，则下列答案中可能正确的是(　　 )

　　　 A．l=2S； B．l＝S ；C．l＝0．5S ；D．l＝0

　　 解析：若物体恰好静止在B．则弹簧原来具有的弹性势能全部转化为内能，应有l＝S．若物体最后静止在B点的左侧或右侧时，弹簧仍具有一定的弹性势能，在这种情况下，物体移动的总路程就会小于S．

　　 答案：BC

[例3]图中，容器A、B各有一个可自由移动的轻活塞，活塞下面是水，上面是大气．大气压恒定，A、B的底部由带有阀门K的管道相连，整个装置与外界绝热，原先，A中水面比B中高，打开阀门，使A中的水逐渐向B中流，最后达到平衡，在这个过程中．(　 )

　　 A．大气压力对水做功，水的内能增加

　　 B．水克服大气压力做功，水的内能减少

　　 C．大气压力对水做功，水的内能不变

　　 D．大气压力对水不做功，水的内能增加

[解析]由题设条件可知，打开阀门k，由于水的重力作用·水从A流向B中，由于水与器壁间的摩擦作用，振动一段时间最后达到平衡状态；A和B中水面静止在同一高度上，水受到重力、器壁压力和两水面上大气压力的作用，器壁压力与水流方向垂直，。不做功，最后A、B中水面等高。相当于A中部分水下移到B中，重力对水做功，设A、B的横截面积分别为S_A、S_B，两个活塞竖直位移分别为L_A、L_B，大气压力对容器A中的活塞做的功为W_A=P₀S_AL_A，容器B中的活塞克服大气压力做的功W_B=P₀S_BL_B，因此大气压力通过活塞对整个水做功为零，即大气压力对水不做功，根据能量守恒定律，重力势能的减少等于水的内能的增加，所以选项D是正确答案．

　　 [评点]本题的关键是取整个水为研究对象，明确它的运动情况。正确分析它的受力，确定水受的力在水运动过程中做的功，应用能的转化和守恒定律推断能量变化关系。

4、对绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等除题目特别说明，必定有机械能损失，碰撞后两物体粘在一起的过程中一定有机械能损失。

3、功和能量的转化关系

①合外力对物体所做的功等于物体动能的增量．　 W_合=E_k2一E_k1(动能定理)

②只有重力做功(或弹簧的弹力)做功，物体的动能和势能相互转化，物体的机械能守恒。

③重力功是重力势能变化的量度,即W_G=－ΔE_P重＝一(E_P末一E_P初) =E_P初一E_P末

④弹力功是弹性势能变化的量度，即：W_弹＝一△E_P弹＝一(E_P末一E_P初) =E_P初一E_P末

⑤除了重力，弹力以外的其他力做功是物体机械能变化的量度，即：W_其他=E_末一E_初

⑥一对滑动摩擦力对系统做总功是系统机械能转化为内能的量度，即：f·S_相＝Q

⑦电场力功是电势能变化的量度，即：W_E=qU=一ΔE =-(E_末一E_初)=E_初一E_末

⑧分子力功是分子势能变化的量度

[例1]在水平地面上平铺n块砖，每块砖的质量为m，厚度为h，如将砖一块一块地叠，需要做多少功？

解析：这是一道非常典型变质量与做功的题，很多同学不知怎样列功能关系式才求出功的大小，我们先画清楚草图．根据功能关系可知：只要找出砖叠放起来时总增加的能量　 ΔE，就可得到W_人＝ΔE，而ΔE＝E_末－E_初=nmgnh/2－nmgh/2=n(n－1)mgh/2

　　 因此，用“功能关系”解题，关键是分清物理过程中有多少种形式的能转化，即有什么能增加或减少，列出这些变化了的能量即可．

答案：n(n－1)mgh/2

2．我们在处理问题时可以从能量变化来求功，也可以从物体做功的多少来求能量的变化．不同形式的能在转化过程中是守恒的．

1．能是物体做功的本领．也就是说是做功的根源．功是能量转化的量度．究竟有多少能量发生了转化，用功来量度，二者有根本的区别，功是过程量，能是状态量．

2、机械能守恒定律的灵活运用

[例7]如图所示，一对杂技演员(都视为质点)乘秋千(秋千绳处于水平位置)从A点由静止出发绕O点下摆，当摆到最低点B时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自已刚好能回到高处A 。求男演员落地点C 与O 点的水平距离s。已知男演员质量m₁，和女演员质量m₂之比=2,秋千的质量不计，秋千的摆长为R , C 点比O 点低5R。

解：设分离前男女演员在秋千最低点B 的速度为v₀，由机械能守恒定律

(m₁+m₂)gR=½ (m₁+m₂)v₀²

设刚分离时男演员速度的大小为v₁,方向与v₀相同；女演员速度的大小为v₂，方向与v₀相反，由动量守恒，

(m₁+m₂)v₀=m₁v₁－m₂v₂

分离后，男演员做平抛运动，设男演员从被推出到落在C点所需的

时间为t ，根据题给条件，由运动学规律4R=gt²　　 s=v₁t

根据题给条件，女演员刚好回到A点，由机械能守恒定律,m₂gR=m₂v₂²

已知m₁/m₂=2,由以上各式可得　 s=8R

[例8]如图5 -4 -5所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球．支架悬挂在0点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动．开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是

　　 A. A球到达最低点时速度为零

　　 B. A球机械能减少量等于B球机械能增加量

　　 C. B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动时的高度

　　 D.当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度

解析:因A处小球质量大，所处的位置高，图中三角形框架处于不稳定状态，释放后支架就会向左摆动．摆动过程中只有小球受的重力做功，故系统的机械能守恒，选项B正确，D选项也正确.A球到达最低点时，若设支架边长是L. A球下落的高度便是L/2，有2mg·(L/2)的重力势能转化为支架的动能，因而此时A球速度不为零，选项A错．当A球到达最低点时有向左运动的速度，还要继续左摆，B球仍要继续上升，因此B球能达到的最高位置比A球的最高位置要高，C选项也正确．

试题展示

　　　　　　 功能问题的综合应用

知识简析　 一、功能关系

　　 机械能守恒定律反映的是物体初、末状态的机械能间关系，且守恒是有条件的，而动能定理揭示的是物体动能的变化跟引起这种变化的合外力的功间关系，既关心初末状态的动能，也必须认真分析对应这两个状态间经历的过程中做功情况．

规律方法　　 1、单个物体在变速运动中的机械能守恒问题

[例6]从某高处平抛一个物体，物体落地时速度方向与水平方向夹角为θ，取地面处重力势能为零，则物体落下高度与水平位移之比为　　　　　 ．抛出时动能与重力势能之比为　　　　　　　　 ．

解析：设平抛运动的时间为 t，则落地时，　　 gt=v₀tanθ即 gt²＝v₀ttanθ

　　 所以 2h＝stanθ所以h/s=tanθ/2

　　 由于落地的速度v=v₀/cosθ　　 又因为½m v₀²十mgh=½mv²

　　 所以mgh=½m v₀²/cos²θ－½mv₀²　　 所以½mv₀²/mgh=cot²θ

　[例7]如图所示，一个光滑的水平轨道AB与光滑的圆轨道BCD连接，其中图轨道在竖直平面内，半径为R，B为最低点，D为最高点．一个质量为m的小球以初速度v₀沿AB运动，刚好能通过最高点D，则(　　　　　 )

　 A．小球质量越大，所需初速度v₀越大

　 B．圆轨道半径越大，所需初速度v₀越大

　 C．初速度v₀与小球质量m、轨道半径R无关

　 D。小球质量m和轨道半径R同时增大，有可能不用增大初速度v₀

解析：球通过最高点的最小速度为v，有mg=mv²/R，v=

这是刚好通过最高点的条件，根据机械能守恒，在最低点的速度v₀应满足

　　 ½m v₀²=mg2R+½mv²，v₀=　　 答案：B

2、系统机械能守恒问题

[例8]如图,斜面与半径R=2.5m的竖直半圆组成光滑轨道,一个小球从A点斜向上抛,并在半圆最高点D水平进入轨道,然后沿斜面向上,最大高度达到h=10m,求小球抛出的速度和位置.

解析:小球从A到D的逆运动为平抛运动,由机械能守恒,平抛初速度v_D为mgh-mg2R=½mv_D²;

所以A到D的水平距离为

由机械能守恒得A点的速度v₀为mgh=½mv₀²;

由于平抛运动的水平速度不变,则V_D=V₀cosθ,所以,仰角为

[例9]如图所示，总长为L的光滑匀质的铁链，跨过一光滑的轻质小定滑轮，开始时底端相齐，当略有扰动时，某一端下落，则铁链刚脱离滑轮的瞬间，其速度多大？

解析：铁链的一端上升，一端下落是变质量问题，利用牛顿定律求解比较麻烦，也超出了中学物理大纲的要求．但由题目的叙述可知铁链的重心位置变化过程只有重力做功，或“光滑”提示我们无机械能与其他形式的能转化，则机械能守恒，这个题目我们用机械能守恒定律的总量不变表达式E₂=E_l，和增量表达式ΔE_P=一ΔE_K分别给出解答，以利于同学分析比较掌握其各自的特点．

(1)设铁链单位长度的质量为P，且选铁链的初态的重心位置所在水平面为参考面，则初态E₁=0

滑离滑轮时为终态，重心离参考面距离L/4，E_P/=－PLgL/4

E_k2=½Lv²即终态E₂=－PLgL/4+½PLv²

由机械能守恒定律得E₂= E₁有　　 －PLgL/4+½PLv²=0，所以v=

(2)利用ΔE_P=－ΔE_K，求解:初态至终态重力势能减少，重心下降L/4，重力势能减少－ΔE_P= PLgL/4，动能增量ΔE_K=½PLv²，所以v=

　　 点评(1)对绳索、链条这类的物体，由于在考查过程中常发生形变，其重心位置对物体来说，不是固定不变的，能否确定其重心的位里则是解决这类问题的关键，顺便指出的是均匀质量分布的规则物体常以重心的位置来确定物体的重力势能．此题初态的重心位置不在滑轮的顶点，由于滑轮很小，可视作对折来求重心，也可分段考虑求出各部分的重力势能后求出代数和作为总的重力势能．至于零势能参考面可任意选取，但以系统初末态重力势能便于表示为宜．

　　 (2)此题也可以用等效法求解，铁链脱离滑轮时重力势能减少，等效为一半铁链至另一半下端时重力势能的减少，然后利用ΔE_P=－ΔE_K求解，留给同学们思考．

[例10]一根细绳不可伸长，通过定滑轮，两端系有质量为M和m的小球，且M=2m，开始时用手握住M，使M与离地高度均为h并处于静止状态．求：(1)当M由静止释放下落h高时的速度．(2)设M落地即静止运动，求m离地的最大高度。(h远小于半绳长，绳与滑轮质量及各种摩擦均不计)

解：在M落地之前，系统机械能守恒(M－m)gh=½(M+m)v²,

M落地之后，m做竖直上抛运动，机械能守恒．有： ½mv²=mgh^/;h^/=h/3

离地的最大高度为：H=2h+h^/=7h/3

试题展示

　　　　　　 机械能守恒定律的应用

知识简析一、应用机械能守恒定律解题的基本步骤

　　 (1)根据题意选取研究对象(物体或系统)．

　　 (2)明确研究对象的运动过程，分析对象在过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒．

　　 (3)恰当地选取零势面，确定研究对象在过程中的始态和末态的机械能．

　　 (4)根据机械能守恒定律的不同表达式列式方程，若选用了增(减)量表达式，(3)就应成为确定过程中，动能、势能在过程中的增减量或各部分机械能在过程中的增减量来列方程进行求解．

[例1]如图5一66所示一质量为m的小球，在B点从静止开始沿半球形容器内壁无摩擦地滑下，B点与容器底部A点的高度差为h，容器质量为M，内壁半径为R．求：

(1)当容器固定在水平桌面上，小球滑至底部A时，容器内壁对小球的作用力大小．

(2)当容器放置在光滑的水平桌面上，小球滑至底部A时，小球相对容器的速度大小．

　　 解析：(1)m下滑只有重力做功，机械能守恒mgh=½mv²

　　 达底端A，根据牛顿第二定律T－mg=mv²/R所以T=mg+2mgh/R=mg(1+2h/R)

(2若容器在光滑水平桌面上，选m和M为研究对象，系统机械能守恒，水平方向上动量守恒

　　 mgh=½mv²+½Mu₁²，0=mv十Mu₁　　 所以u₁=－mv/M

　 代入得mgh＝½mv²，所以v=，小球相对容器的速度大小为v^/＝v-u₁＝v十mv/M

　　 所以v^/=

　　 答案：(1)mg(1+2h/R)，(2)

规律方法　 1、机械能守恒定律与圆周运动结合

物体在绳、杆、轨道约束的情况下在竖直平面内做圆周运动，往往伴随着动能，势能的相互转化，若机械能守恒，即可根据机械能守恒去求解物体在运动中经过某位里时的速度，再结合圆周运动、牛顿定律可求解相关的运动学、动力学的量．

[例2]如图1所示．一根长L的细绳，固定在O点，绳另一端系一条质量为m的小球．起初将小球拉至水平于A点．求(1)小球从A点由静止释放后到达最低点C时的速度．(2)小球摆到最低点时细绳的拉力。

解：(1)由机械能守恒有：mgl=½mv_C²;

(2) 在最低点，由向心力公式有T－mg=mv²/l;T=3mg;

[例3]在上例中，将小球自水平向下移，使细绳与水平方向成θ=30⁰角，如图2所示．求小球从A点由静止释放后到达最低点C时细绳的拉力．

解：

[例4]如图，长为L的细绳一端拴一质量为m的小球，另一端固定在O点，在O点的正下方某处P点有一钉子，把线拉成水平，由静止释放小球，使线碰到钉子后恰能在竖直面内做圆周运动，求P点的位置

解析： 设绳碰到钉子后恰能绕P点做圆周运动的半径为r，运动到最高点的速率为V，由机械能守恒定律得：

在最高点，由向心力公式有：,,

[例5]如图5-69所示，长为l不可伸长的细绳一端系于O点，一端系一质量为m的物体，物体自与水平夹角30⁰(绳拉直)由静止释放，问物体到达O点正下方处的动能是多少？

　　 错解：由机械能守恒定律：mg1·5l=½mv²，　　 所以最低点动能为1．5mgl

　　 分析：小球运动过程是：先由A点自由下落至B．自B点做圆周运动，就在B处绳使其速度改变的瞬间小球的动能减少，下面我们通过运算来说明这个问题．

　　 正确解法： v_B=，其方向竖直向下，将该速度分解如图5一70所示　　 v₂＝vcos30⁰=cos30⁰　

　　 由B至C的过程中机械能守恒　 ½mv十mg0.5l=½mv

　 由此得½mv=5mgl/4

答案：5mgl/4

　　 点评：通过例5、例6两题，人们会有这种想法：为什么例 5中在速度改变瞬间(B点)有能量损失，而例 6中就没有能量损失，这其中原因是什么呢？仔细考虑可知：例6中绳的作用力与速度垂直，所以只改变了速度的方向而没有改变速度的大小，而例5中虽然速度大小发生了变化(v₂＜v_B)．由动量定理可知，沿半径方向绳的拉力T产生的冲量使沿绳方向的动量发生了变化，即TΔt＝mv₁，因此该情况就有能量损失，也就不可用机械能守恒定律．

　[例6]如图所示，在一根长为L的轻杆上的B点和末端C各固定一个质量为m的小球，杆可以在竖直面上绕定点A转动，BC=L/3,现将杆拉到水平位置从静止释放，求末端小球C摆到最低点时速度的大小和这一过程中BC端对C球所做的功。(杆的质量和摩擦不计)

解析：B、C两球系统在下摆的过程中只有重力做功，系统机械能守恒。

;　 由于B、C角速度相同，

解得：

对于C球,由动能定理得解得杆BC段对C球做功

动量守恒是矢量守恒，守恒条件是从力的角度，即不受外力或外力的和为零。机械能守恒是标量守恒，守恒条件是从功的角度，即除重力、弹力做功外其他力不做功。确定动量是否守恒应分析外力的和是否为零，确定系统机械能是否守恒应分析外力和内力做功，看是否只有重力、系统内弹力做功。还应注意，外力的和为零和外力不做功是两个不同的概念。所以，系统机械能守恒时动量不一定守恒；动量守恒时机械能也不一定守恒。

[例4]如图所示装置，木块B与水平面的接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短．现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象(系统)，则此系统在子弹射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中(　　　 )

　　 A．动量守恒、机械能守恒　 　　B．动量不守恒，机械能不守恒

　　 C．动量守恒、机械能不守恒　　 D．动量不守恒、机械能守恒

　　 解析：在力学中，给定一个系统后，这个系统经某一过程兵动量和机械能是否守恒，要看是否满足动量守恒和机械能守恒条件．在这个过程中，只要系统不受外力作用或合外力为零(不管系统内部相互作用力如何)动量必然守恒．但在子弹、木块、弹簧这个系统中，由于弹簧的压缩，墙对弹簧有作用力，所以水平合外力不等于零，系统动量不守恒，若选取子弹，木块为系统，在子弹射入木块过程中，因t很短，弹簧还来不及压缩，或认为内力远大于外力(弹力)，系统动量守恒．在这个过程中，外力　 F、N、 mg不做功．系统内弹力做功，子弹打入木块的过程中，有摩擦力做功，有机械能向内能转化．因此机械能不守恒(若取子弹打入B后，A、B一起压缩弹簧的过程，系统只有弹力做功，机械能守恒)．答案：B

　　 由上述分析可知，判定系统动量，机械能是否守恒的关键是明确守恒条件和确定哪个过程．　　

[例5]两个完全相同的质量均为m的沿块A和B，放在光滑水平面上，滑块A与轻弹簧相连，弹簧另一端固定在墙上，当滑块B以v₀的初速度向滑块A运动时，如图所示，碰A后不再分开，下述正确的是(　　　 )

　 A．弹簧最大弹性势能为½mv₀²　 B．弹簧最大弹性势能为¼mv₀²

　 C．两滑块相碰以及以后一起运动系统机械能守恒　　

D．两滑块相碰以及以后一起运动中，系统动量守恒

解析：两滑决的运动应分两阶段，第一阶段两滑决相碰，由于碰后两滑块一起运动，有部分机械能转化为内能．机械能不守恒，但动量守恒．因此有：　　 mv₀=(m十m)v　　 所以v=½v₀

第二阶段，两滑块一起在弹簧力作用下来回振动，此时只有弹簧力做功，机械能守恒．但在此过程系统外力冲量不为零，系统动量不守恒，因此有：　　 E_P+½(m+m)v₂^/2=½(m+m)v²

　　 所以弹性势能最大为v^/₂＝0时，所以E_P =¼mv．　　 答案：B