1、正弦定理:在三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,R为三角形ABC的外接圆的半径,则有,注意以下一些变式:
17、平移公式:将点P(x,y),按平移至点P′(xˊ,yˊ),
则,,叫平移向量。
图象的平移:设函数y=f(x)的图象为C,将C上每一点均按平移,得一个新的图象C′,则C′对应的函数关系式为y-k=f(x-h),即y=f(x-h)+k,
(2)函数的图象按向量平移后,所得函数的解析式是,则=________(答:)
第十六讲正弦定理与余弦定理
16、在中,①若,则其重心的坐标为。
②为的重心,特别地为的重心;
③为的垂心;
④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线);
⑤的内心;
⑥S⊿AOB=
如:(1)若O是所在平面内一点,且满足,则的形状为____(答:直角三角形);(2)若为的边的中点,所在平面内有一点,满足,设,则的值为___(答:2);(3)若点是的外心,且,则的内角为____(答:);
15、线段的定比分点:设点P是直线PP上异于P、P的任意一点,若存在一个实数 ,使PP=PP,叫做点P分有向线段所成的比,P点叫做有向线段的以定比为的定比分点。当P点在线段 PP上时,>0,当P点在线段 PP的延长线上时,<-1,当P点在线段PP的延长线上时 -1<<0。
若点P分有向线段所成的比为,则点P分有向线段所成的比为
定比分点的坐标公式:
设
在使用定比分点的坐标公式时,应明确(x,y), (x,y), (x,y)的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标。一般在计算中应根据题设,自行确定起点,分点和终点并根据这些点确定对应的定比。
当=1时,就得到PP的中点公式:
14、向量与平面垂直:如果表示向量的有向线段所在的直线垂直于平面a,则称这个向量垂直于平面a,此时向量叫做平面a的法向量。
13、空间直角坐标系:如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长度都为1,则这个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示,而空间坐标系的建立是:在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴:x轴,y轴,z轴,它们都叫坐标轴,O-xyz为空间坐标系,向量i,j,k为坐标向量,通过每两条数轴的平面叫做坐标平面,分别叫做xOy平面,yOz平面, xOz平面,作空间坐标系时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.在空间坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称此坐标系为右手直角坐标系。
12、空间向量基本定理:如果三个向量,,不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的有序组x,y,z,使=x+y+z.其中{,,}叫做空间的一个基底,,,都叫做基向量。
11、向量与平面平行:如果向量所在直线在平面内或与平面平行,则称向量与平面平行。注意与直线与平面平行的区别。
共面向量:平行于同一平面的向量叫做共面向量,空间任意两个向量都共面(包括两条异面直线上的向量)。空间三个向量不一定共面。不共面的三个向量可构成空间的一个基底。
共面向量定理:如果两个向量,不共线,则向量与向量,共面的充要条件是存在实数对x,y,使得=x+y.
共面向量定理的推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y,使或对空间任一点O,有
=(m+n+k=1).这也是证四点共面的方法。
10、叫在上的投影。的几何意义是它等于的模与在上的投影的积。
注意:投影也叫射影,是一个数,可正可负也可为0,不再是一个向量。有两种计算方式:
9、 两向量垂直的充要条件:
非零向量=0
非零向量=0
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