例1 已知函数的图象上的一点及临近一点

则　　　　 .

解:

∴

例2 求在附近的平均变化率.

解:

所以

　 　所以在附近的平均变化率为

(二)平均变化率概念

1.上述问题中的变化率可用式子表示,

称为函数从到的平均变化率.

2.若设, (这里看作是对于的一个“增量”可用代替,同样)

则平均变化率为

思考: 观察函数的图象

平均变化率表示什么?

(一)问题提出

问题1 气球膨胀率

　　 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

气球的体积(单位:)与半径(单位:)之间的函数关系是

如果将半径表示为体积的函数,那么

分析:

(1)当从增加到时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为

(2)当从增加到时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为

可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.

思考: 当空气容量从V₁增加到V₂时,气球的平均膨胀率是多少?

问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在函数关系.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?

思考计算: 和的平均速度

在这段时间里,

在这段时间里,

探究: 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:

(1)运动员在这段时间内使静止的吗？

(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程: 如图是函数的图像,

结合图形可知,,所以

虽然运动员在这段时间里的平均速度为,

但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,

可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.

导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关: