(1)波的图象

①坐标轴：取质点平衡位置的连线作为x轴，表示质点分布的顺序；取过波源质点的振动方向作为Y轴表示质点位移．

②意义：在波的传播方向上，介质中质点在某一时刻相对各自平衡位置的位移．

③形状：正弦(或余弦)图线．

因而画波的图象．要画出波的图象通常需要知道波长λ、振幅A、波的传播方向(或波源的方位)、横轴上某质点在该时刻的振动状态(包括位移和振动方向)这四个要素．

(2)简谐波图象的应用

①从图象上直接读出波长和振幅．

②可确定任一质点在该时刻的位移．

③可确定任一质点在该时刻的加速度的方向．

④若已知波的传播方向，可确定各质点在该时刻的振动方向．若已知某质点的振动方向，可确定波的传播方向．

⑤若已知波的传播方向，可画出在Δt前后的波形．沿传播方向平移Δs=vΔt.

规律方法　　　　　 1、机械波的理解

[例2]地震震动以波的形式传播，地震波有纵波和横波之分。

(1)图中是某一地震波的传播图，其振幅为A，波长为λ，某一时刻某质点的坐标为(λ，0)经1/4周期该质点的坐标是多少？该波是纵波还是横波。

A．纵波(5λ/4．0)　　 B．横波(λ，－A)

C．纵波(λ，A)　　　 D．横波(5λ/4．A)

(2)若 a、b两处与c地分别相距300 km和200 km。当 C处地下15 km处发生地震，则

A．C处居民会感到先上下颠簸，后水平摇动　　　　 B．地震波是横波

C．地震波传到a地时，方向均垂直地面　　　　　　 D．a、b两处烈度可能不同

解析:(1)由题图知，该地震波为横波，即传播方向与振动方向垂直。

某质点的坐标(λ，0)即为图中a点，经1/4周期，a点回到平衡位置下面的最大位移处，即位移大小等于振幅，坐标为(λ，－A)，(水平方向质点并不随波逐流)。　 故答案为B

(2)由于地震波有横波、纵波之分，二者同时发生，传播速度不同而异，传到a、b两处，由于距离，烈度也当然不同。　　 故答案为A、D。

[例3]1999年9月台湾南投地区发生了里氏7．4级大地震，已知地震中的纵彼和横波在地表附近的传播速度为 9．1km／s和3．7km／s，在某地的观测站中，记录了南投地震的纵波和横渡到达该地的时间差5．4S．

(1)求这个观测站距南投的距离．

(2)观测站首先观察到的是上下振动还是左右晃动？

解析：(1)设观测站距南投的距离为S，则　 －=t，s=t=34km

(2)因为纵波先到观测点，因而先观察到的是左右晃动。

2、质点振动方向和波的传播方向的判定

(1)在波形图中，由波的传播方向确定媒质中某个质点(设为质点A)的振动方向(即振动时的速度方向)：逆着波的传播方向，在质点 A的附近找一个相邻的质点B．若质点B的位置在质点A的负方向处，则A质点应向负方向运动，反之。则向正方向运动如图中所示，图中的质点A应向y轴的正方向运动(质点B先于质点A振动．A要跟随B振动)．

(2)在波形图中．由质点的振动方向确定波的传播方向，若质点C是沿Y轴负方向运动，在C质点位置的负方向附近找一相邻的质点D．若质点D在质点C位置X轴的正方向，则波由X轴的正方向向负方向传播：反之．则向X轴的正方向传播．如图所示，这列波应向X轴的正方向传播(质点c要跟随先振动的质点D的振动)

具体方法为：①带动法：根据波的形成，利用靠近波源的点带动它邻近的离波源稍远的点的道理，在被判定振动方向的点P附近(不超过λ/4)图象上靠近波源一方找另一点P^/，若P^/在P上方，则P^/带动P向上运动如图，若P^/在P的下方，则P^/带动P向下运动．

②上下坡法：沿着波的传播方向走波形状“山路”，从“谷”到“峰”的上坡阶段上各点都是向下运动的，从“峰”到“谷”的下坡阶段上各点都是向上运动的，即“上坡下，下坡上”

③微平移法：将波形沿波的传播方向做微小移动Δx＝v·Δt＜λ/4，则可判定P点沿y方向的运动方向了．

　 反过来已知波形和波形上一点P的振动方向也可判定波的传播方向．

[例4]如图所示，a、b是一列横波上的两个质点，它们在X轴上的距离s=30m，波沿x轴正方向传播，当a振动到最高点时b恰好经过平衡位置，经过3s，波传播了30m，并且a经过平衡位置，b恰好到达最高点，那么．

　　 A．这列波的速度一定是10 m／s　　 B．这列波的周期可能是0．8s

　　 C．这列波的周期可能是3s　　　　 D．这列波的波长可能是 24 m

　解析：因波向外传播是匀速推进的，故v＝ΔS／Δt=10m/s，设这列波的振动周期为T，由题意知经3s，a质点由波峰回到平衡位置，可得T/4十nT/2＝3(n=1，2……)

　　 另由v=λ/T得波长λ=，(n＝0，1，2……)

　　 在n＝2时，对应的波长λ＝24 m；在n＝7时，T＝0．8s．故选项A、B、D正确．答案：ABD

　点评：本题在写出周期T的通式时即应用了“特殊点法”，对a质点，同波峰回到平衡位置需T／4 时间，再经T/2又回到平衡位置……，这样即可写出T的通式．当然，若考虑质点b，也能写出这样的通式(同时须注意到开始时b恰好经过平衡位置，包括向上通过平衡位置和向下通过平衡位置这两种情况)．

[例5]一列波在媒质中向某一方向传播，图所示的为此波在某一时刻的波形图，并且此时振动还只发生在M、N之间．此列波的周期为T，Q质点速度方向在波形图中是向下的，下列判断正确的是　　　　 (　　 )

A．　 波源是M，由波源起振开始计时，P质点已经振动的时间为T；

B．波源是N，由波源起振开始计时，P点已经振动的时间为3 T／4

C．波源是N，由波源起振开始计时，P点已经振动的时间为T／4。

D．波源是M，由波源起振开始计时，P点已经振动的时间为T／4

解析:若波源是M，则由于Q点的速度方向向下，在 Q点的下向找一相邻的质点，这样的质点在Q的右侧，说明了振动是由右向左传播，N点是波源，图示时刻的振动传到M点，P与M点相距λ／4，则P点已经振动了T／4．故C选项正确。

点评：本题关键是由质点的运动方向确定波的传播方向，从而确定波源的位置．

[例6]如图所示，O为上下振动的波源，振动频率为100Hz，它P所产生的横波同时向左、向在传播．波速为80 m／s，M、N两质点距波源的距离分别为OM＝17．4m，ON＝16．2m，当波源通过平衡位置向上振动时，M、N两质点的位置分别为(　　　 )

A．M点在波峰，N点在波谷；　　 B．M、N两点均在波峰

C．N点在波峰，M点在波谷；　　 D．M、N两点均在波谷

解析:由题意可知该列波的波长为λ＝v／f＝80／100m＝0．8m．M、N两点与波源的距离分别为OM＝17．4m＝(21+3／4)λ， ON=16．2m＝(20+l／4)A．这说明 M、N两点为反相点，当波源 O在平衡位置向上振动时波形图如图所示，图中的P点与M点是同相点，Q点与N点是同相点，所以M在波峰，N点在波谷，A选项正确

点评：本题关键有两点：当波源O由平衡位置向上运动时，波源两侧的质点的波形图的形状，也就是确定如图的波形图(O两侧相邻的质点均追随O点向上运动且在O点的下方)；在O点的附近寻找M、N两点的同相点P、Q。

　　 波速是介质对波的传播速度．介质能传播波是因为介质中各质点间有弹力的作用，弹力越大，相互对运动的反应越灵教，则对波的传播速度越大．通常情况下，固体对机械波的传摇速度校大，气体对机械波的传播速度较小．对纵波和横波，质点间的相互作用的性质有区别，那么同一物质对纵波和对横波的传播速度不相同．所以，介质对波的传播速度由介质决定，与振动频率无关．

　 波长是质点完成一次全振动所传播的距离,所以波长的长度与波速v和周期T有关．即波长由波源和介质共同决定．

　　 由以上分析知，波从一种介质进入另一种介质，频率不会发生变化，速度和波长将发生改变．

　　 ②振源的振动在介质中由近及远传播，离振源较远些的质点的振动要滞后一些，这样各质点的振动虽然频率相同，但步调不一致，离振源越远越滞后．沿波的传播方向上，离波源一个波长的质点的振动要滞后一个周期，相距一个波长的两质点振动步调是一致的．反之，相距1/2个波长的两质点的振动步调是相反的．所以与波源相距波长的整数倍的质点与波源的振动同步(同相振动)；与波源相距为1/2波长的奇数倍的质点与波源派的振动步调相反(反相振动．)

[例1]一简谐横波的波源的振动周期为1s，振幅为1crn，波速为1m／s，若振源质点从平衡位置开始振动，且从振源质点开始振动计时，当 t＝0．5s时(　　 )

A．距振源¼λ处的质点的位移处于最大值　　 B．距振源¼λ处的质点的速度处于最大值

C．距振源½λ处的质点的位移处于最大值　　 D．距振源½λ处的质点的速度处于最大值

　　 解析：根据题意，在0．5s 内波传播的距离 Δx＝vt＝0．5m．即Δx=½λ．也就是说，振动刚好传播到½λ处，因此该处的质点刚要开始振动，速度和位移都是零，所以选项C、D都是不对的，振源的振动传播到距振源¼λ位置需要的时间为T/4=0。25s，所以在振源开始振动0．5 s后．¼λ处的质点，振动了0．25 s，即1/4个周期，此时该质点应处于最大位移处，速度为零．　　 答案：A

3．波速：单位时间内波向外传播的距离。v=s/t=λ/T=λf，波速的大小由介质决定。

2．周期与频率．波的频率由振源决定，在任何介质中传播波的频率不变。波从一种介质进入另一种介质时，唯一不变的是频率(或周期)，波速与波长都发生变化．

1．波长λ：两个相邻的，在振动过程中相对平衡位置的位移总是相等的质点间的距离叫波长．在横波中，两个相邻的波峰或相邻的波谷之间的距离．在纵波中两相邻的的密部(或疏部)中央间的距离，振动在一个周期内在介质中传播的距离等于波长

4.机械波的传播过程

(1)机械波传播的是振动形式和能量．质点只在各自的平衡位置附近做振动，并不随波迁移．后一质点的振动总是落后于带动它的前一质点的振动。

(2)介质中各质点的振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同．

(3)由波源向远处的各质点都依次重复波源的振动．

3、分类:①横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直．凸起部分叫波峰，凹下部分叫波谷

②纵波：质点的振动方向与波的传播方向在一直线上．质点分布密的叫密部，疏的部分叫疏部，液体和气体不能传播横波。

2、产生条件:(1)有作机械振动的物体作为波源．(2)有能传播机械振动的介质．

1、定义：机械振动在介质中传播就形成机械波．

3、单摆的综合应用

[例7](1998年全国)图中两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好触．现将摆球A在两摆线所在平面向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两球分开各自做简谐运动．以m_A、m_B分别表示摆球A、B的质量，则(　　 )

　　 A．如果m_A＞m_B，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧

　　 B．如果m_A＜m_B，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧

　　 C．无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧

　　 D．无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧

解析：由于两球线长相等,所以两球做单摆运动的周期必然相等.两球相碰后有这几种可能:①碰后两球速度方向相反,这样两球各自到达最高点再返回到平衡位置所用的时间相等,故两球只能在平衡位置相遇;②碰后两球向同一方向运动,则每个球都先到达最大位移处然后返回平衡位置,所用的时间也都是半个周期,两球仍只能在平衡位置相遇;③碰后一球静止,而另一球运动,则该球先到最大位移又返回到平衡位置,所用时间还是半个周期,在平衡位置相遇.

　　 因此，不管m_A＞m_B，还是m_A＜m_B 还是m_A＝m_B ，无论摆球质量之比为多少，下一次碰撞都只能发生在平衡位置，也就是说不可能发生在平衡位置的右侧或左侧，所以选项C、D正确．

拓展:两球的碰撞是否是弹性碰撞?

[例8]如图所示，两个完全相同的弹性小球1,2，分别挂在长L和L/4的细线上，重心在同一水平面上且小球恰好互相接触，把第一个小球向右拉开一个不大的距离后由静止释放，经过多长时间两球发生第10次碰撞？

解析:因将第1个小球拉开一个不大的距离，故摆动过程应符合单摆的周期公式有，,系统振动周期为，在同一个T内共发生两次碰撞，球1从最大位移处由静止释放后．经发生10次碰撞，且第10次碰后球1又摆支最大位移处.

[例9]一单摆的摆长为L，摆球的质量为m，原来静止，在一个水平冲量I作用下开始摆动．此后，每当摆球经过平衡位置时，便给它一个与其速度方向一致的冲量I，求摆球经过多长时间后其摆线与竖直方向间的夹角可以达到α？(α≤5⁰，不计阻力，所施冲量时间极短)

解析：设摆球经过平衡位置的次数为n，则摆球达最大偏角α时需用时间t=(n-l)十 …………①

由动量定理和机械能守恒定律得：nI＝mv………②　　　 ½mv²=mgl(1－cosα)………③

单摆周期……… ④　　 联立①－④式得：

[例10]如图所示，AB为半径R=7.50 m的光滑的圆弧形导轨，BC为长s＝0.90m的光滑水平导轨，在B点与圆弧导轨相切,BC离地高度h＝1.80 m，一质量m₁＝0.10 kg的小球置于边缘C点，另一质量m₂＝0. 20 kg的小球置于B点，现给小球m₁一个瞬时冲量使它获得大小为0.90 m/s的水平向右速度，当m₁运动到B时与m₂发生弹性正碰，g取10 m/s²，求：

(1)两球落地的时间差Δt；

　(2)两球落地点之间的距离Δs.

解析:(1 )m₁与m₂发生弹性正碰，则设碰后m₁和m₂速度分别为v₁^/和v₂^/，有

得v₁＝一0.3 m/s,v'₂=0. 6 m/s

可见m₁以0. 3 m/s速度反弹，从B到C,t=s/v₁^/=3s, m₂以0. 6 m/s速度冲上圆弧轨道，可证明m₂运动可近似为简谐运动，在圆弧上运动时间为＝2.72 s,再从B到C, t₂ =s/v₂^/=1.5s则△t＝t₂+T/2一t₁=1.22 s. (2)利用平抛运动知识不难求得△s＝0.18 m.

[例11]如图所示，a、b、Co 质量相等的三个弹性小球(可视为质点)，a、b分别悬挂在L₁=1.0m，L₂=0.25 m的轻质细线上，它们刚好与光滑水平面接触而不互相挤压，ab相距10cm。若c从a和b的连线中点处以v₀=5 cm/s的速度向右运动，则c将与b和a反复碰撞而往复运动。

　　 已知碰撞前后小球c均沿同一直线运动，碰撞时间极短，且碰撞过程中没有机械能损失，碰撞后a和b的摆动均可视为简谐振动。以c球开始运动作为时间零点，以向右为正方向，试在图中画也在l0s内C、b两球运动的位移-时间图像，两图像均以各自的初位置为坐标原点。(运算中可认为)

[答案]如图

[例12]有几个登山运动员登上一无名高峰，但不知此峰的高度，他们想迅速估测出高峰的海拔高度，但是他们只带了一些轻质绳子、小刀、小钢卷尺、可当作秒表用的手表和一些食品，附近还有石子、树木等，其中一个人根据物理知识很快就测出了海拔高度，请写出测量方法，需记录的数据，推导出计算高峰的海拔高度的计算式．

解析:用细线和小石块做一个单摆，量出摆线长L₁，并测出单摆周期T₁.设小石块重心到细线与小石块的连接处的距离为d，则改变摆线长为L₂,测出周期T₂，则可得当地重力加速度为又由，得

[例13]在长方形桌面上放有：秒表、细绳、铁架台、天平、弹簧秤、钩码，怎样从中选取器材可较为准确地测出桌面面积S？并写出面积表达式．

[解析]用细绳量桌面长，并用此绳(包括到钩码重心)、钩码、铁架台做成单摆，由秒表测出其振动周期T₁；同理量桌面宽，做单摆，测出周期T₂． 答案：S=

试题展示

　　　　　　 波的性质与波的图像

知识简析　 一、机械波