2.波的折射: 波从一种介质射入另一种介质时，传播方向发生改变的现象．

(1)波的折射中，波的频率不变，波速和波长都发生了改变．

(2)折射角：折射波的波线与界面法线的夹角．

(3)入射角i与折射角r的关系

　　 V₁和v₂是波在介质I和介质Ⅱ中的波速．i为I介质中的入射角,r为Ⅱ介质中的折射角．

1.波的反射:波遇到障碍物会返回来继续传播的现象．

(1)波面：沿波传播方向的波峰(或波谷)在同一时刻构成的面．

(2)波线：跟波面垂直的线，表示波的传播方向．

(3)入射波与反射波的方向关系．

①入射角：入射波的波线与平面法线的夹角．

② 反射角：反射波的波线与平面法线的夹角．

③在波的反射中，反射角等于入射角；反射波的波长、频率和波速都跟入射波的相同．

(4)特例：夏日轰鸣不绝的雷声；在空房子里说话会听到声音更响．

(5)人耳能区分相差0.1 s以上的两个声音．

5.介质中质点的振动方向未定

　　 在波的传播过程中，质点振动方向与传播方向联系，若某一质点振动方向未确定，则波的传播方向有两种，这样形成多解．

　　 说明：波的对称性：波源的振动要带动它左、右相邻介质点的振动，波要向左、右两方向传播．对称性是指波在介质中左、右同时传播时，关于波源对称的左、右两质点振动情况完全相同．

[例3]一列在x轴上传播的简谐波，在x_l= 10cm和x₂=110cm处的两个质点的振动图象如图所示，则质点振动的周期为　　　　　　 s，这列简谐波的波长为　　　　 cm．

　 [解析]由两质点振动图象直接读出质点振动周期为 4s．由于没有说明波的传播方向，本题就有两种可能性：(1)波沿x轴的正方向传播．在t＝0时，x₁在正最大位移处，x₂在平衡位置并向y轴的正方向运动，那么这两个质点间的相对位置就有如图所示的可能性，也就x₂一 x₁＝(n十1/4)λ，λ=400/(1十4n)cm

(2)波沿x轴负方向传播．在t＝0时．x₁在正最大位移处，x₂在平衡位置并向y轴的正方向运动，那么这两个质点间的相对位置就有如图所示的可能性……，x₂一 x₁＝(n十3/4)λ，λ=400／(3+ 4n)cm　　　　　

点评：由于波在媒质中传播具有周期性的特点，其波形图每经过一个周期将重复出现以前的波形图，所以由媒质中的质点的振动图象确定波长的值就不是唯一的(若要是唯一的，就得有两个前提：一个是确定波传播方向；一个是确定波长的范围)．

[例4]如图实线是某时刻的波形图象，虚线是经过0.2s时的波形图象。求：

①波传播的可能距离 ②可能的周期(频率)

③可能的波速　 ④若波速是35m/s，求波的传播方向　

⑤若0.2s小于一个周期时，传播的距离、周期(频率)、波速。

解析：

①题中没给出波的传播方向，所以有两种可能：向左传播或向右传播。

向左传播时，传播的距离为x=nλ+3λ/4=(4n+3)m　 (n=0、1、2　 …)

向右传播时，传播的距离为x=nλ+λ/4=(4n+1)m　 (n=0、1、2　 …)

②向左传播时，传播的时间为t=nT+3T/4得：T=4t/(4n+3)=0.8 /(4n+3)(n=0、1、2　 …)

向右传播时，传播的时间为t=nT+T/4得：T=4t/(4n+1)=0.8 /(4n+1)　 (n=0、1、2　 …)

③计算波速，有两种方法。v=x/t　 或v=λ/T

向左传播时，v=x/t=(4n+3)/0.2=(20n+15)m/s. 或v=λ/T=4 (4n+3)/0.8=(20n+15)m/s.(n=0、1、2　 …)

向右传播时，v=x/t=(4n+1)/0.2=(20n+5)m/s. 或v=λ/T=4 (4n+1)/0.8=(20n+5)m/s. (n=0、1、2　 …)

④若波速是35m/s，则波在0.2s内传播的距离为x=vt=35×0.2m=7m=1λ，所以波向左传播。

⑤若0.2s小于一个周期，说明波在0.2s内传播的距离小于一个波长。则：

向左传播时，传播的距离x=3λ/4=3m；传播的时间t=3T/4得：周期T=0.267s；波速v=15m/s.向右传播时，传播的距离为λ/4=1m；传播的时间t=T/4得：周期T=0.8s；波速v =5m/s.

点评：做此类问题的选择题时，可用答案代入检验法。

[例5]如图所示，一列简谐横波在t₁时刻的波形，如图甲所示，质点P在该时刻的振动速度为v，t₂时刻质点P的振动速度与t₁时刻的速度大小相等，方向相同；t₃时刻质点P的速度与t₁时刻的速度大小相等，方向相反．若t₂－t₁＝t₃-t₂＝0．2秒，求这列波的传播速度．

　　 解析：从振动模型分析，若质点P从t₁时刻开始向平衡位置方向振动，在一个周期内，从t₁时刻到t₂时刻，从t₂时刻到t₃时刻，对应的振动图象如图乙所示．考虑到振动的周期性，则有：　 t₂-t₁＝(n+1／4)T　　　 n＝0，1，2……

　 周期为：T=(t₂一t₁)／(n十1/4)　 n＝0，1，2……

　 由公式：v＝λ／T　 得出速度v的通解为： v＝20(n+l／4) n=0，1，2……方向向左．

　 若质点 P从 t₁时刻开始背离平衡位置方向振动，在一个周期内，从t₁时刻到t2时刻，从t₂时刻到t₃时刻，对应的振动图象如图丙所示．考虑到振动的周期性，则有：

　 t₂-t₁＝(n+3／4)T　　　 n＝0，1，2……

　 周期为：T=(t₂一t₁)／(n十3/4)　 n＝0，1，2……

　 由公式：v＝λ／T　 得出速度v的通解为： v＝20(n+3／4) n=0，1，2……方向向右．

　 答案：v＝20(n+l／4)(n＝0，1，2……)　　 方向向左．

　　 或v＝ 20( n+ 3／4)( n＝ 0，1，2，……)方向向右

[例6]已知在t₁时刻简谐横波的波形如图中实线所示；在时刻t₂该波的波形如图中虚线所示。t₂-t₁ = 0.02s来求：⑴该波可能的传播速度。⑵若已知T< t₂-t₁<2T，且图中P质点在t₁时刻的瞬时速度方向向上，求可能的波速。⑶若0.01s<T<0.02s，且从t₁时刻起，图中Q质点比R质点先回到平衡位置，求可能的波速。

解：⑴如果这列简谐横波是向右传播的，在t₂-t₁内波形向右匀速传播了，所以波速=100(3n+1)m/s (n=0,1,2,…)；同理可得若该波是向左传播的，可能的波速v=100(3n+2)m/s　 (n=0,1,2,…)

　　 ⑵P质点速度向上，说明波向左传播，T< t₂-t₁ <2T，说明这段时间内波只可能是向左传播了5/3个波长，所以速度是唯一的：v=500m/s

　 　⑶“Q比R先回到平衡位置”，说明波只能是向右传播的，而0.01s<T<0.02s，也就是T<0.02s<2T，所以这段时间内波只可能向右传播了4/3个波长，解也是唯一的：v=400m/s

[例7]一列横波沿直线在空间传播，某一时刻直线上相距为d的M、N两点均处在平衡位置，且M、N之间仅有一个波峰，若经过时间t，N质点恰好到达波峰位置，则该列波可能的波速是多少？

分析与解：本题没有给定波的传播方向，仅告诉我们在某一时刻M、N两点均处在平衡位置，且M、N之间仅有一个波峰．由此我们可以推想，处在直线MN上的各个质点在该时刻相对平衡位置的位移可能会有以下四种情况，即波的图像有以下四种图形(如图中A、B、C、D图，各图中均为左端为M，右端为N)：

若波的传播方向由M到N，那么：

　　 在A图中，经过时间t，N恰好到达波峰，说明时间t内波向右前进的距离，且，所以波速．

　　 在B图中，经过时间t，波峰传到N点，则波在时间t内向右前进的距离，且，所以波速．

　　 在C图中，经过时间t，波向右前进的距离，且，所以波速．

　　 在D图中，经过时间t，波向右前进的距离，且，所以波速．

　　 若波的传播方向从N到M，那么：

　　 在A图中，质点N此时要向下振动，经过时间t，N到达波峰，则时间，在时间t内波向左前进的距离，所以波速．

　　 在B图中，经过时间t， N到达波峰，则时间，在此时间内波向左前进的距离，所以波速．

　　 在C图中，波在时间t内向左前进的距离，且，所以波速．

　　 在D图中，质点N经过变为波峰，所以，在时间t内波向左前进的距离，所以波速．

所以该列波可能的波速有五种、、、、．

　其实上述解决问题的方法过于程序化，如果能够判断出八种情况下该时刻波形图上的波峰在传播方向上到N点的距离S，波速v就等于．例如：最后一种情况中，波峰在传播方向上到N点的距离，所以波速．其它情况读者可自行解决．

规律方法

试题展示

波的现象与声波

知识简析　 一、波的现象

4.介质中两质点间的距离与波长关系未定

　　 在波的传播方向上，如果两个质点间的距离不确定，就会形成多解，解题时若不能联想到所有可能情况，易出现漏解．

3.波的双向性

　　 双向性是指波沿正负方向传播时，若正、负两方向的传播时间之和等于周期的整数倍，则沿正负两方向传播的某一时刻波形相同．

2.波的时间的周期性

　　 在x轴上同一个给定的质点，在t+nT时刻的振动情况与它在t时刻的振动情况(位移、速度、加速度等)相同．因此，在t时刻的波形，在t+nT时刻会多次重复出现．这就是机械波的时间的周期性．

波的时间的周期性，表明波在传播过程中，经过整数倍周期时，其波的图象相同．

波动图象的多解涉及：(1)波的空间的周期性；(2)波的时间的周期性；(3)波的双向性；(4)介质中两质点间距离与波长关系未定；(5)介质中质点的振动方向未定．

1.波的空间的周期性

　　 沿波的传播方向，在x轴上任取一点P(x)，如图所示，P点的振动完全重复波源O的振动，只是时间上比O点要落后Δt，且Δt =x/v=xT₀/λ.在同一波线上，凡坐标与P点坐标x之差为波长整数倍的许多质点，在同一时刻t的位移都与坐标为λ的质点的振动位移相同，其振动速度、加速度也与之相同，或者说它们的振动“相貌”完全相同．因此，在同一波线上，某一振动“相貌”势必会不断重复出现，这就是机械波的空间的周期性．

　　 空间周期性说明，相距为波长整数倍的多个质点振动情况完全相同．

4．已知振幅A和周期T，求振动质点在Δt时间内的路程和位移．

　　 求振动质点在Δt时间内的路程和位移，由于牵涉质点的初始状态，需用正弦函数较复杂．但Δt若为半周期T/2的整数倍则很容易．

　　 在半周期内质点的路程为 2A．若Δt= n·T/2， n＝ 1、2、3……，则路程s=2A·n，其中n=．

当质点的初始位移(相对平衡位置)为x₁＝x₀时，经T/2的奇数倍时x₂=－x₀，经T/2的偶数倍时x₂＝x₀．

[例11]如图所示,在xOy平面内有一沿x轴正方向传播的简谐振动横波,波速为1m/s,振幅为4cm,频率为2.5Hz,在t=0时刻,P点位于其平衡位置上方最大位移处,则距P点为0.2m的Q点

A、在0.1s时的位移是4cm;

B、在0.1s时的速度最大;

C、在0.1s时的速度向下;

D、在0到0.1s的时间内路程是4cm;

解析:,P与Q相距λ/2,先画出若干个波长的波形,经过0.1s也就是T/4后,Q点将回到平衡位置,且向上运动,B项正确;在0到0.1s时间内通过的路程为振幅,即4cm,D项正确

拓展:若求经Δt=2.5s时Q的路程和Q的位移,如何求?

试题展示

　　　　　　 专题：振动图像与波的图像及多解问题

知识简析

3．已知波速V和波形，画出再经Δt时间波形图的方法．

(1)平移法：先算出经Δt时间波传播的距离上Δx＝V·Δt，再把波形沿波的传播方向平移动Δx即可．因为波动图象的重复性，若知波长λ，则波形平移nλ时波形不变，当Δx=nλ十x时，可采取去整nλ留零x的方法，只需平移x即可

(2)特殊点法：(若知周期T则更简单)

在波形上找两特殊点，如过平衡位置的点和与它相邻的峰(谷)点，先确定这两点的振动方向，再看Δt＝nT+t，由于经nT波形不变，所以也采取去整nT留零t的方法，分别做出两特殊点经 t后的位置，然后按正弦规律画出新波形．

[例7]图是某时刻一列横波在空间传播的波形图线。已知波是沿x轴正方向传播，波速为4m/s，试计算并画出经过此时之后1.25s的空间波形图。

解析:由波形图已知λ=0.08m,由T=λ/v=0.08/4=0.02s,经过t=1.25s,即相当于1.25/0.02=62.5个周期,而每经过一个周期,波就向前传播一个波长。经过62.5个周期，波向前传播了62.5个波长。据波的周期性，当经过振动周期的整数倍时，波只是向前传播了整数倍个波长，而原有波形不会发生改变,所以可以先画出经过1/2周期后的波形，如图。再将此图向前扩展62个波长即为题目要求，波形如图。

[例8]如图是一列向右传播的简谐横波在某时刻的波形图。已知波速v=0.5m/s，画出该时刻7s前及7s后的瞬时波形图。

解析：λ=2m，v=0.5m/s，=4 s.所以⑴波在7s内传播的距离为x=vt=3.5m=7λ/4,⑵质点振动时间为7T/4。

方法1　 波形平移法：现有波形向右平移可得7s后的波形；

现有波形向左平移λ可得7s前的波形。

由上得到图中7s后的瞬时波形图(粗实线)和7s前的瞬时波形图(虚线)。

方法2　 特殊质点振动法：根据波动方向和振动方向的关系，确定两个特殊点(如平衡点和峰点)在3T/4前和3T/4后的位置进而确定波形。请读者试着自行分析画出波形。

[例9]一列简谐横波向右传播，波速为v。沿波传播方向上有相距为L的P、Q两质点，如图15所示。某时刻P、Q两质点都处于平衡位置，且P、Q间仅有一个波峰，经过时间t，Q质点第一次运动到波谷。则t的可能值(　 )

A．1个　　 B．2个　　　　

　C．3个　　D．4个

解析：由题意：“某时刻P、Q两质点都处于平衡位置，且P、Q间仅有一个波峰”，符合这一条件的波形图有4个，如图所示。显然，Q质点第一次运动到波谷所需的时间t的可能值有4个。故D选项正确。

[例10]一列简谐横波在传播方向上相距为3米的两个质点P和Q的振动图象分别用图中的实线和虚线表示，若P点离振源较Q点近，则该波的波长值可能为多少？若Q点离振源较P点近，则该波的波长值又可能为多少？

　 分析：由图可知，T= 4s，P近，波由P向Q传，P先振动，Q后振动，Dt=Kt+3T/4，所以，S_PQ=kl+3l/4，则　 k=0，1，2L

　 若Q近，波由Q向P传，Q先振动，P后振动，Dt=Kt+T/4，所以，S_PQ=kl+l/4，则　　 　　k=0，1，2L