题型1：指数运算

例1．(1)计算：；

(2)化简：。

解：(1)原式=

；

(2)原式=

。

点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。

例2．已知，求的值。

解：∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴。

点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。

题型2：对数运算

例3．计算

(1)；(2)；

(3)。

解：(1)原式

　　　　　 ；

(2)原式

　　　　　 ；

(3)分子=；

分母=；

原式=。

点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧。

例4．设、、为正数，且满足

(1)求证：；

(2)若，，求、、的值。

证明：(1)左边

；

解：(2)由得，

∴……………①

由得………… ……………②

由①②得……………………………………③

由①得，代入得，

∵， ∴………………………………④

由③、④解得，，从而。

点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。

题型3：指数、对数方程

例5．设关于的方程R)，

(1)若方程有实数解，求实数b的取值范围；

(2)当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。

解：(1)原方程为，

，

时方程有实数解；

(2)①当时，，∴方程有唯一解；

②当时，.

的解为；

令

的解为；

综合①、②，得

1)当时原方程有两解：；

2)当时，原方程有唯一解；

3)当时，原方程无解。

点评：具有一些综合性的指数、对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非常广泛，应通过解题学习不断积累经验。

例6．(2006辽宁 文13)方程的解为　　　　　 。

解：考察对数运算。原方程变形为，即，得。且有。从而结果为。

点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。

题型4：指数函数的概念与性质

例7．设(　　 )

A．0　　　　　 　B．1　 　　　　　　C．2　　　　　　　 D．3

解：C；，。

点评：利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值。

例8．已知试求函数f(x)的单调区间。

解：令，则x=，t∈R。

所以即，(x∈R)。

因为f(－x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，故只需讨论f(x)在[0，+∞)上的单调性。

任取，，且使，则

(1)当a>1时，由，有，，所以，即f(x)在[0，+∞]上单调递增。

(2)当0<a<1时，由，有，，所以，即f(x)在[0，+∞]上单调递增。

综合所述，[0，+∞]是f(x)的单调增区间，(－∞，0)是f(x)的单调区间。

点评：求解含指数式的函数的定义域、值域，甚至是证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。特别是分两种情况来处理。

题型5：指数函数的图像与应用

例9．若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是(　　 )

A．m≤－1　　　　　 B．－1≤m<0　　　　　　 　C．m≥1　　 　　 　　D．0<m≤1

解：，

画图象可知－1≤m<0。

答案为B。

点评：本题考察了复杂形式的指数函数的图像特征，解题的出发点仍然是两种情况下函数的图像特征。

例10．设函数的取值范围。

解：由于是增函数，等价于　　①

1)当时，，①式恒成立；

2)当时，，①式化为，即；

3)当时，，①式无解；

综上的取值范围是。

点评：处理含有指数式的不等式问题，借助指数函数的性质将含有指数式的不等式转化为普通不等式问题(一元一次、一元二次不等式)来处理。

题型6：对数函数的概念与性质

例11．(1)函数的定义域是(　　 )

A．　　　　　 B．　　　　 C．　　　　　 D．

(2)(2006湖北)设f(x)＝，则的定义域为(　　 )

A．　　　　　　 B．(－4,－1)(1，4)

C．(－2,－1)(1，2)　　　　　　 D．(－4,－2)(2，4)

解：(1)D(2)B。

点评：求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范围，在对数函数中只有真数大于零时才有意义。对于抽象函数的处理要注意对应法则的对应关系。

例12．对于，

(1)函数的“定义域为R”和“值域为R”是否是一回事；

(2)结合“实数a的取何值时在上有意义”与“实数a的取何值时函数的定义域为”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别；

(3)结合(1)(2)两问，说明实数a的取何值时的值域为

(4)实数a的取何值时在内是增函数。

解：记，则；

(1)不一样；

定义域为R恒成立。

得：，解得实数a的取值范围为。

值域为R：值域为R至少取遍所有的正实数，

则，解得实数a的取值范围为。

(2)实数a的取何值时在上有意义：

命题等价于对于任意恒成立，

则或，

解得实数a得取值范围为。

实数a的取何值时函数的定义域为：

由已知得二次不等式的解集为可得，则a=2。故a的取值范围为{2}。

区别：“有意义问题”正好转化成“恒成立问题”来处理，而“定义域问题”刚好转化成“取遍所有问题”来解决(这里转化成了解集问题，即取遍解集内所有的数值)

(3)易知得值域是，又得值域是，

得，故a得取值范围为{－1，1}。

(4)命题等价于在上为减函数，且对任意的恒成立，则，解得a得取值范围为。

点评：该题主要考察复合对数函数的定义域、值域以及单调性问题。解题过程中遇到了恒成立问题，“恒为正”与“取遍所有大于零的数”不等价，同时又考察了一元二次函数函数值的分布情况，解题过程中结合三个“二次”的重要结论来进行处理。

题型7：对数函数的图像及应用

例13．当a>1时，函数y=log_ax和y=(1－a)x的图象只可能是(　　 )

解：当a>1时，函数y=log_ax的图象只能在A和C中选，

又a>1时，y=(1－a)x为减函数。

答案：B

点评：要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性。

例14．设A、B是函数y= log₂x图象上两点, 其横坐标分别为a和a+4, 直线l: x=a+2与函数y= log₂x图象交于点C, 与直线AB交于点D。

(1)求点D的坐标；

(2)当△ABC的面积大于1时, 求实数a的取值范围。

解：(1)易知D为线段AB的中点, 因A(a, log₂a ), B(a+4, log₂(a+4))，

所以由中点公式得D(a+2, log₂ )。

(2)S_△ABC=S_{梯形AA′CC′}+S_{梯形CC′B′B}- S_{梯形AA′B′B}=…= log₂,

其中A′,B′,C′为A,B,C在x轴上的射影。

由S_△ABC= log₂>1, 得0< a<2－2。

点评：解题过程中用到了对数函数性质，注意底数分类来处理，根据函数的性质来处理复杂问题。

题型8：指数函数、对数函数综合问题

例15．在xOy平面上有一点列P₁(a₁,b₁),P₂(a₂,b₂),…,P_n(a_n,b_n)…，对每个自然数n点P_n位于函数y=2000()^x(0<a<1)的图象上，且点P_n,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以P_n为顶点的等腰三角形。

(1)求点P_n的纵坐标b_n的表达式；

(2)若对于每个自然数n，以b_n,b_n+1,b_n+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；

(3)设C_n=lg(b_n)(n∈N^*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{C_n}前多少项的和最大？试说明理由。

解：(1)由题意知：a_n=n+,∴b_n=2000()。

(2)∵函数y=2000()^x(0<a<10)递减，

∴对每个自然数n,有b_n>b_n+1>b_n+2。

则以b_n,b_n+1,b_n+2为边长能构成一个三角形的充要条件是b_n+2+b_n+1>b_n，

即()²+()－1>0，

解得a<－5(1+)或a>5(－1)。

∴5(－1)<a<10。

(3)∵5(－1)<a<10，∴a=7

∴b_n=2000()。数列{b_n}是一个递减的正数数列，

对每个自然数n≥2,B_n=b_nB_n－1。

于是当b_n≥1时，B_n<B_n－1，当b_n<1时，B_n≤B_n－1，

因此数列{B_n}的最大项的项数n满足不等式b_n≥1且b_n+1<1，

由b_n=2000()≥1得：n≤20。

∴n=20。

点评：本题题设从函数图像入手，体现数形结合的优越性，最终还是根据函数性质结合数列知识，以及三角形的面积解决了实际问题。

例16．已知函数为常数)

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)若a=2，试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性。

(3)若函数y=f(x)是增函数，求a的取值范围。

解：(1)由

∵a＞0，x≥0

∴f(x)的定义域是。

(2)若a=2，则

设 ， 则

故f(x)为增函数。

(3)设

　 ①

∵f(x)是增函数，

∴f(x₁)＞f(x₂)

即　 ②

联立①、②知a＞1，

∴a∈(1，+∞)。

点评：该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可。

题型9：课标创新题

例17．对于在区间上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意的，均有，则称f(x)与g(x)在上是接近的，否则称f(x)与g(x)在上是非接近的，现有两个函数与，给定区间。

(1)若与在给定区间上都有意义，求a的取值范围；

(2)讨论与在给定区间上是否是接近的。

解：(1)两个函数与在给定区间有意义，因为函数给定区间上单调递增，函数在给定区间上恒为正数，

故有意义当且仅当；

(2)构造函数，

对于函数来讲，

显然其在上单调递减，在上单调递增。

且在其定义域内一定是减函数。

由于，得

所以原函数在区间内单调递减，只需保证

当时，与在区间上是接近的；

　当时，与在区间上是非接近的。

点评：该题属于信息给予的题目，考生首先理解“接近”与“非接近”的含义，再对含有对数式的函数的是否“接近”进行研究，转化成含有对数因式的不等式问题，解不等式即可。

例18．设，，且，求的最小值。

解：令 ，

∵，，∴。

　 由得，∴，

　∴，∵，∴，即，∴，

　 ∴，

　∵，∴当时，。

点评：对数函数结合不等式知识处理最值问题，这是出题的一个亮点。同时考察了学生的变形能力。

2．指数函数与对数函数

(1)指数函数：

①定义：函数称指数函数，

1)函数的定义域为R；2)函数的值域为；

3)当时函数为减函数，当时函数为增函数。

　 ②函数图像：

1)指数函数的图象都经过点(0，1)，且图象都在第一、二象限；

2)指数函数都以轴为渐近线(当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴)；

3)对于相同的，函数的图象关于轴对称。

①， ②， ③ ①， ②， ③，

(2)对数函数：

①定义：函数称对数函数，

1)函数的定义域为；2)函数的值域为R；

3)当时函数为减函数，当时函数为增函数；

4)对数函数与指数函数互为反函数。

②函数图像：

1)对数函数的图象都经过点(0，1)，且图象都在第一、四象限；

2)对数函数都以轴为渐近线(当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴)；

4)对于相同的，函数的图象关于轴对称。

③函数值的变化特征：

	①， ②， ③. ①， ②， ③.

1．指数与对数运算

(1)根式的概念：

①定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根。即若，则称的次方根，

1)当为奇数时，次方根记作；

2)当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作。

②性质：1)；2)当为奇数时，；

3)当为偶数时，。

(2)．幂的有关概念

①规定：1)N^*；2)；

　　　　　　　　　 n个

3)Q，4)、N^*　 且。

②性质：1)、Q)；

2)、 Q)；

3) Q)。

(注)上述性质对r、R均适用。

(3)．对数的概念

①定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数。

1)以10为底的对数称常用对数，记作；

2)以无理数为底的对数称自然对数，，记作；

②基本性质：

1)真数N为正数(负数和零无对数)；2)；

3)；4)对数恒等式：。

③运算性质：如果则

1)；

2)；

3)R)。

④换底公式：

1)；2)。

2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。

指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。

预测2007年对本节的考察是：

1．题型有两个选择题和一个解答题；

3．知道指数函数与对数函数互为反函数(a＞0，a≠1)。

1．指数函数

(1)通过具体实例(如细胞的分裂，考古中所用的¹⁴C的衰减，药物在人体内残留量的变化等)，了解指数函数模型的实际背景；

(2)理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

(3)理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；

(4)在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。

6．单调性是函数学习中非常重要的内容，应用十分广泛，由于新教材增加了“导数”的内容，所以解决单调性问题的能力得到了很大的提高，因此解决具体函数的单调性问题，一般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决。注意，关于复合函数的单调性的知识一般用于简单问题的分析，严格的解答还是应该运用定义或求导解决。

5．若存在常数T，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x恒成立，则称T为函数f(x)的周期，一般所说的周期是指函数的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集。