2.二分法

二分法及步骤：

对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：

(1)确定区间，，验证·，给定精度；

(2)求区间，的中点；

(3)计算：

①若=，则就是函数的零点；

②若·<，则令=(此时零点)；

③若·<，则令=(此时零点)；

(4)判断是否达到精度；

即若，则得到零点零点值(或)；否则重复步骤2~4。

注：函数零点的性质

从“数”的角度看：即是使的实数；

从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；

若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；

若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点。

注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。

1．方程的根与函数的零点

(1)函数零点

概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。

二次函数的零点：

1)△＞0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点；

2)△＝0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；

3)△＜0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。

零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。

函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”(即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。

预计2008年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。

(1)题型可为选择、填空和解答；

(2)高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。

2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；

函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换。

常见的函数数字特征有：

(1)函数奇偶性：

奇函数；

偶函数。

(2)函数单调性：

单调递增或；

单调递增或。

(3)函数周期性

周期为：或；

(4)对称性

关于y轴对称：；

关于原点对称：；

关于直线对称：或；

关于点对称：或。

题型1：作图

例1．(06重庆 理)如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y=f(x)的图象是(　　 )

解析：显然当时，阴影部分的面积等于圆的面积减去以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积，，即点在直线的下方，故应在C、D中选择。而当当时，阴影部分的面积等于圆的面积加上以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积，，即点在直线的上方，故应选择D。

点评：该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象个关系；

例2．(1996上海，文、理8)在下列图象中，二次函数y=ax²+bx与指数函数y=()^x的图象只可能是(　　 )

解析一：由指数函数图象可以看出0<<1。抛物线方程是y=a(x+)²－，其顶点坐标为(－，－)，又由0<<1，可得－<－<0.观察选择支，可选A。

解析二：求y=ax²+bx与x轴的交点，令ax²+bx=0，解得x=0或x=－，而－1<－<0。故选A。

点评：本题主要考查二次函数、指数函数的图象及性质，源于课本，考查基本知识，难度不大。本题虽小，但一定要细致观察图象，注意细微之处，获得解题灵感。

题型2：识图

例3．(06江西 12)某地一年内的气温(单位：℃)与时间(月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10℃，令表示时间段的平均气温，与之间的函数关系用下图表示，则正确的应该是(　　 )

解析：平均气温10℃与函数图像有两个交点，观察图像可知两交点的两侧都低于平均气温， 而中间高于平均气温。时间段内的平均气温，应该从开始持续到平均气温左交点向右一段距离才开始达到平均气温，持续上升一段时间，最后回落到平均气温。答案A。

点评：联系生活，体会变量间的相互关系，重视观察图像的变化趋势，结合导数的知识处理实际问题。

例4．(2002上海文，理16)一般地，家庭用电量(千瓦时)与气温(℃)有一定的关系，如图2-1所示，图(1)表示某年12个月中每月的平均气温.图(2)表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是(　　 )

图

A．气温最高时，用电量最多

B．气温最低时，用电量最少

C．当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加

D．当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增加

解析：经比较可发现，2月份用电量最多，而2月份气温明显不是最高。因此A项错误。同理可判断出B项错误。由5、6、7三个月的气温和用电量可得出C项正确。

点评：该题考查对图表表达的函数的识别和理解能力，要从题目解说入手，结合图像和实际解决问题。

题型3：函数的图象变换

例5．(2002全国理，10)函数y=1－的图象是(　　 )

解析一：该题考查对f(x)=图象以及对坐标平移公式的理解，将函数y=的图形变形到y=，即向右平移一个单位，再变形到y=－即将前面图形沿x轴翻转，再变形到y=－+1，从而得到答案B。

解析二：可利用特殊值法，取x=0，此时y=1，取x=2，此时y=0。因此选B。

点评：借助函数图像的变换规则解决实际问题。

例6．(05广东理　 9)在同一平面直角坐标系中，函数和的图象关于直线对称。现将的图象沿轴向左平移2个单位，再沿轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线(如图2所示)，则函数的表达式为(　　 )

A．

B．

C．

D．

解析：原函数的图像仍然是由两条折线段组成，折线段的端点(－2，0)、(0，1)、(1，3)向下平移1个单位是端点(－2，－1)、(0，0)、(1，2)，再向右平移2个单位端点为(0，－1)、(2，0)、(3，2)，关于直线对称后折线段端点为(－1，0)、(0，2)、(2，3)。答案A。

点评：该题是应用函数图象变换求函数解析式。由函数图像的变换的函数的性质逆向变换既可，注意函数图像的变换中平移、对称都不会改变原来函数的形状。

题型4：函数图象应用

例7．函数与的图像如下图：则函数的图像可能是(　　 )

解析：∵函数的定义域是函数与的定义域的交集，图像不经过坐标原点，故可以排除C、D。

由于当x为很小的正数时且，故。∴选A。

点评：明确函数图像在x轴上下方与函数值符号改变的关系，数值相乘“同号为正、异号为负”。

例8．(2000春季北京、安徽，14)已知函数f(x)=ax³+bx²+cx+d的图象如图，求b的范围。

解法一：观察f(x)的图象，可知函数f(x)的图象过原点，即f(0)=0,得d=0，

又f(x)的图象过(1，0)，

∴f(x)=a+b+c　　①

又有f(－1)＜0，即－a+b－c＜0　　　　 ②

①+②得b＜0，故b的范围是(－∞，0)

解法二：如图f(0)=0有三根0，1，2，

∴f(x)=ax³+bx²+cx+d=ax(x－1)(x－2)=ax³－3ax²+2ax，

∴b=－3a，

∵当x>2时，f(x)>0，从而有a>0，

∴b＜0。

点评：通过观察函数图像，变形函数解析式，得参数的取值范围。

题型5：函数图像变换的应用

例9．已知，方程的实根个数为(　 )

A．2　　　　　　 B．3　　　　　　 C．4　　　　　　 D．2或3或4

根据函数与方程的关系，知方程的根的个数即为函数与函数的图像交点的个数。

该题通过作图很可能选错答案为A，这是我们作图的易错点。若作图标准的话，在同一个直角坐标系下画出这两个函数的图像，由图知当时，图像的交点个数为3个；当时，图像的交点个数为4个；当时，图像的交点个数为2个。选项为D。

点评：该题属于“数形结合”的题目。解题思路是将“函数的零点”问题转化为“函数的交点问题”，借助函数的图象以及函数的图象变换规则求得结果即可。

例10．设，若，且，则的取值范围是(　　 )

A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

解析：保留函数在x轴上方的图像，将其在x轴下方的图像翻折到x轴上方区即可得到函数的图像。

通过观察图像，可知在区间上是减函数，在区间上是增函数，由，且可知，所以，，从而，即，又，所以。选项为A。

点评：考察函数图像的翻折变换。体现了数学由简到繁的原则，通过研究函数的图像和性质，进而得到的图像和性质。

题型6：幂函数概念及性质

例11．函数互质)图像如图所示，则(　 )

A．均为奇数

B．一奇一偶

C．均为奇数

D．一奇一偶

解析：该题考察了幂函数的性质，由于幂函数在第一象限的图像趋势表明函数在上单调递减，此时只需保证，即，有；同时函数只在第一象限有图像，则函数的定义域为，此时定为偶数，即为偶数，由于两个数互质，则定为奇数。

答案：选项为B。

点评：该题突破了传统借形言数思路，属于“由图形得解析式”的题目。为此需要分清幂函数在几种不同情况下函数的图像的特点，更甚至在同一种情形下取不同数值对函数图像的影响也要了解。

例12．画出函数的图象，试分析其性质。

解析：先要找出它是哪一种函数平移而来的，它应是由反比例函数平移而来，(这种变换是解决这类问题的关键)，由此说明，是由图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的，如图所示：具体画图时对于图象与坐标轴的交点位置要大致准确，即。故图象一定过(0，－1)和两个关键点。

再观察其图象可以得到如下性质：定义域，单调区间上单调递增；既不是奇函数也不是偶函数，但是图象是中心对称图形，对称中心是(3，－2)。

点评：幂函数的图象与性质是解决该类问题基础。注意此题两个增区间之间不能用并集号。

题型7：抽象函数问题

例13．函数的定义域为D：且满足对于任意，有

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)判断的奇偶性并证明；

(Ⅲ)如果上是增函数，求x的取值范围。

(Ⅰ)解：令

(Ⅱ)证明：令

令

∴为偶函数。

(Ⅲ)

∴ (1)

∵上是增函数，　

∴(1)等价于不等式组：

∴

∴x的取值范 围为

点评：以抽象函数为模型，考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力。认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f(x₁+x₂)＝f(x₁)·f(x₂)找到问题的突破口，由f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂)变形为是解决问题的关键。

例14．(2005广东19)设函数 上满足，且在闭区间[0，7]上，只有

(Ⅰ)试判断函数的奇偶性；

(Ⅱ)试求方程在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论。

解析：(Ⅰ)由

，

从而知函数的周期为

又，

，所以

故函数是非奇非偶函数；

(II) 又

故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有有两个解，

从而可知函数在[0,2005]上有402个解，

在[－2005.0]上有400个解,所以函数在[－2005,2005]上有802个解。

点评：充分利用函数的数字特征，并将其转化为函数的性质，再来解题。

题型8：函数图象综合问题

例15．如图，点A、B、C都在函数y=的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2。又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′,记△AB′C的面积为f(a)，△A′BC′的面积为g(a)。

(1)求函数f(a)和g(a)的表达式；

(2)比较f(a)与g(a)的大小，并证明你的结论。

解： (1)连结AA′、BB′、CC′,

则f(a)=S_△AB′C=S_{梯形AA′C′C}－S_△AA′B′－S_△CC′B

=(A′A+C′C)=(),

g(a)=S_△A′BC′=A′C′·B′B=B′B=。

∴f(a)<g(a)。

点评：本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等，充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口，解题思路：图形面积不会拆拼、数形结合、等价转化。

例16．设曲线的方程是，将沿轴、轴正方向分别平移、个单位长度后得到曲线，

(1)写出曲线的方程；

(2)证明曲线与关于点对称；

(3)如果曲线与有且仅有一个公共点，证明：

解析：(1)曲线的方程为；

(2)证明：在曲线上任意取一点，

设是关于点的对称点，则有，

∴。

代入曲线的方程，得的方程：。

即可知点在曲线上。

反过来，同样证明，在曲线上的点的对称点在曲线上。

因此，曲线与关于点对称。

(3)证明：因为曲线与有且仅有一个公共点，

∴方程组有且仅有一组解，

消去，整理得，这个关于的一元二次方程有且仅有一个根，

∴，即得，

因为，所以。

点评：充分利用函数图像变换的原则，解决复合问题。

2．幂函数

在第一象限的图象，可分为如图中的三类：

图

　　　 在考查学生对幂函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时，所涉及的幂函数中限于在集合中取值。

　　　 幂函数有如下性质：

　　　 ⑴它的图象都过(1，1)点，都不过第四象限，且除原点外与坐标轴都不相交；

　　　 ⑵定义域为R或的幂函数都具有奇偶性，定义域为的幂函数都不具有奇偶性；

　　　 ⑶幂函数都是无界函数；在第一象限中，当时为减函数，当时为增函数；

　　　 ⑷任意两个幂函数的图象至少有一个公共点(1，1)，至多有三个公共点；

1．函数图象

(1)作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。

作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势)；④描点连线，画出函数的图象。

运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点。

(2)三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；

①平移变换：

Ⅰ、水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；

1)y=f(x)y=f(x+h)；2)y=f(x) y=f(x-h)；

Ⅱ、竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到；

1)y=f(x) y=f(x)+h；2)y=f(x) y=f(x)-h。

②对称变换：

Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；

y=f(x) y=f(-x)

Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；

y=f(x) y= -f(x)

Ⅲ、函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；

y=f(x) y= -f(-x)

Ⅳ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到。

y=f(x) x=f(y)

Ⅴ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到；

y=f(x) y=f(2a-x)。

③翻折变换：

Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；

Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到

④伸缩变换：

Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩()为原来的倍得到；

y=f(x)y=af(x)

Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩()为原来的倍得到。

f(x)y=f(x)y=f()

(3)识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。

函数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，所以在高考中，函数知识占有极其重要的地位。其试题不但形式多样，而且突出考查学生联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力。知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地。

从历年高考形势来看：

(1)与函数图象有关的试题，要从图中(或列表中)读取各种信息，注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解题的能力，会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题；

(2)函数综合问题多以知识交汇题为主，甚至以抽象函数为原型来考察；

(3)与幂函数有关的问题主要以为主，利用它们的图象及性质解决实际问题；

预测07年高考函数图象：(1)题型为1到2个填空选择题；(2)题目多从由解析式得函数图象、数形结合解决问题等方面出题；

函数综合问题：(1)题型为1个大题；(2)题目多以知识交汇题目为主，重在考察函数的工具作用；

幂函数：单独出题的可能性很小，但一些具体问题甚至是一些大题的小过程要应用其性质来解决；