题型1：正比例、反比例和一次函数型

例1．某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：(1)如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；(2)如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？

解析：(1)由表观察知，沙漠面积增加数y与年份数x之间的关系图象近似地为一次函数y=kx+b的图象。

将x=1，y=0.2与x=2，y=0.4，代入y=kx+b，

求得k=0.2，b=0，

所以y=0.2x(x∈N)。

因为原有沙漠面积为95万公顷，则到2010年底沙漠面积大约为

95+0.5×15=98(万公顷)。

(2)设从1996年算起，第x年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷，由题意得

95+0.2x－0.6(x－5)=90，

解得x=20(年)。

故到2015年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷。

点评：初中我们学习过的正比例、反比例和一元一次函数的定义和基本性质，我们要牢固掌握。特别是题目中出现的“成正比例”、“成反比例”等条件要应用好。

例2．(2006安徽理21)(已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有

(Ⅰ)证明；

(Ⅱ)证明 其中和均为常数；

证明(Ⅰ)令，则，∵，∴。

(Ⅱ)①令，∵，∴，则。

假设时，，则，而，∴，即成立。

②令，∵，∴，

假设时，，则，而，∴，即成立。∴成立。

点评：该题应用了正比例函数的数字特征，从而使问题得到简化。而不是一味的向函数求值方面靠拢。

题型2：二次函数型

例3．一辆中型客车的营运总利润y(单位：万元)与营运年数x(x∈N)的变化关系如表所示，则客车的运输年数为()时该客车的年平均利润最大。

(A)4　　 (B)5　　 (C)6　　 (D)7

x年	4	6	8	…
(万元)	7	11	7	…

解析：表中已给出了二次函数模型

，

由表中数据知，二次函数的图象上存在三点(4，7)，(6，11)，(8，7)，则

。

解得a=－1，b=12，c=-25，

即。

而取“=”的条件为，

即x=5，故选(B)。

点评：一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型，解决此类问题要充分利用二次函数的结论和性质，解决好实际问题。

例4．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，要继续向前滑行一段距离后才会停下，这段距离叫刹车距离。为测定某种型号汽车的刹车性能，对这种型号的汽车在国道公路上进行测试，测试所得数据如下表。在一次由这种型号的汽车发生的交通事故中，测得刹车距离为15.13m，问汽车在刹车时的速度是多少？

解析：所求问题就变为根据上表数据，建立描述v与s之间关系的数学模型的问题。此模型不能由表格中的数据直接看出，因此，以刹车时车速v为横轴，以刹车距离s为纵轴建立直角坐标系。根据表中的数据作散点图，可看出应选择二次函数作拟合函数。假设变量v与s之间有如下关系式：，因为车速为0时，刹车距离也为0，所以二次曲线的图象应通过原点(0，0)。再在散点图中任意选取两点A(30，7.30)，B(80，44.40)代入，解出a、b、c于是

。(代入其他数据有偏差是许可的)

将s=15.13代入得

，

解得v≈45.07。

所以，汽车在刹车时的速度是45.07km/h。

例5．(2003北京春，理、文21)某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.

(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

解：(1)当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为： =12，所以这时租出了88辆车.

(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f(x)=(100－)(x－150)－×50，整理得：f(x)=－+162x－21000=－(x－4050)²+307050.所以，当x=4050时，f(x)最大，其最大值为f(4050)=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.

点评：本题贴近生活。要求考生读懂题目，迅速准确建立数学模型，把实际问题转化为数学问题并加以解决。

题型3：分段函数型

例6．某集团公司在2000年斥巨资分三期兴建垃圾资源化处理工厂，如下表：

如果每期的投次从第二年开始见效，且不考虑存贷款利息，设2000年以后的x年的总收益为f(x)(单位：千万元)，试求f(x)的表达式，并预测到哪一年能收回全部投资款。

解析：由表中的数据知，本题需用分段函数进行处理。由表中的数据易得，

f(x)=。

显然，当n≤4时，不能收回投资款。

当n≥5时，由f(n)=10n-24>70，

得n>9.4，取n=10。

所以到2010年可以收回全部投资款。

点评：分段函数是根据实际问题分类讨论函数的解析式，从而寻求在不同情况下实际问题的处理结果。

例7．(2000全国，21)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图2-10中(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2-10中(2)的抛物线表示.

图2-10

(1)写出图中(1)表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f(t)；

写出图中(2)表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g(t)；

(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?

(注：市场售价和种植成本的单位：元／10² ，kg，时间单位：天)

解：(1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为

f(t)＝

由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为

g(t)＝(t－150)²+100，0≤t≤300．

(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)＝f(t)－g(t)，

即h(t)＝

当0≤t≤200时，配方整理得h(t)＝－(t－50)²+100，

所以，当t＝50时，h(t)取得区间［0，200］上的最大值100；

当200＜t≤300时，配方整理得

h(t)＝－(t－350)²+100，

所以，当t＝300时，h(t)取得区间(200，300］上的最大值87.5.

综上，由100＞87．5可知，h(t)在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.

点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题.考查运用所学知识解决实际问题的能力.

题型4：三角函数型

例8．某港口水的深度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记作y=f(t)。下面是某日水深的数据：

经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数y=Asinωt+b的图象。(1)试根据以上数据求出函数y=f(t)的近似表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)。某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它最多能在港内停留多少时间(忽进出港所需的时间)？

解析：题中直接给出了具体的数学模型，因此可直接采用表中的数据进行解答。

(1)由表中数据易得，周期T=12，，b=10，

所以。

(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于

5+6.5=11.5(m)，

所以，

化为，

应有，

解得12k+1≤t≤12k+5　 (k∈Z)。

在同一天内取k=0或1，

所以1≤t≤5或13≤t≤17，

所以该船最早能在凌晨1时进港，最晚在下午17时出港，在港口内最多停留16个小时。

点评：三角型函数解决实际问题要以三角函数的性质为先，通过其单调性、周期性等性质解决实际问题。特别是与物理知识中的电压、电流、简谐振动等知识结合到到一块来出题，为此我们要对这些物理模型做到深入了解。

题型5：不等式型

例9．(2006湖南理20)对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为: 为, 要求清洗完后的清洁度为.　 有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗;　 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为. 设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是, 用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是,

其中是该物体初次清洗后的清洁度.。

(Ⅰ)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少;

(Ⅱ)若采用方案乙, 当为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

解析：(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有=0.99,解得x=19.

由得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y满足方程:　　　 解得y=4,故z=4+3.

即两种方案的用水量分别为19与4+3.

因为当,故方案乙的用水量较少.

(II)设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似(I)得

，(*)

于是+

当为定值时,,

当且仅当时等号成立.此时

将代入(*)式得

故时总用水量最少,

此时第一次与第二次用水量分别为,　　

最少总用水量是.

当,故T()是增函数，这说明,随着的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量.

点评：该题建立了函数解析式后，通过基本不等式“”解释了函数的最值情况，而解决了实际问题。该问题也可以用二次函数的单调性判断。

例10．(2001上海，文、理21)用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x).

(1)试规定f(0)的值，并解释其实际意义；

(2)试根据假定写出函数f(x)应该满足的条件和具有的性质；

(3)设f(x)=，现有a(a＞0)单位量的水，可以清洗一次，也

可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由

解：(1)f(0)=1表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样．

(2)函数f(x)应该满足的条件和具有的性质是：f(0)=1，f(1)=，

在［0，+∞)上f(x)单调递减，且0＜f(x)≤1．

(3)设仅清洗一次，残留的农药量为f₁＝，清洗两次后，残留的农药量为

f₂＝，

则f₁－f₂＝．

于是，当a＞2时，f₁＞f₂；当a=2时，f₁＝f₂；当0＜a＜2时，f₁＜f₂．

因此，当a＞2时，清洗两次后残留的农药量较少；

当a=2时，两种清洗方法具有相同的效果；

当0＜a＜2时，一次清洗残留的农药量较少．

点评：本题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力。以及函数概念、性质和不等式证明的基本方法。

题型6：指数、对数型函数

例11．有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合。

用，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数(我们称其湖水污染质量分数)，表示湖水污染初始质量分数。

(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；

(2)分析时，湖水的污染程度如何。

解析： (1)设，

因为为常数，，即，

则；

(2)设，

=

因为，，。污染越来越严重。

点评：通过研究指数函数的性质解释实际问题。我们要掌握底数两种基本情况下函数的性质特别是单调性和值域的差别，它能帮我们解释具体问题。譬如向题目中出现的“污染越来越严重”还是“污染越来越轻”

例12．现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过个？(参考数据：).

解析：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，

　 　1小时后，细胞总数为；

2小时后，细胞总数为；

3小时后，细胞总数为；

4小时后，细胞总数为；

可见，细胞总数与时间(小时)之间的函数关系为：　 ，

由，得，两边取以10为底的对数，得，

∴，

∵，

∴.　

答：经过46小时，细胞总数超过个。

点评：对于指数函数、对数函数要熟练应用近似计算的知识，来对事件进行合理的解析。

1．解决实际问题的解题过程

(1)对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；

(2)建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；

(3)求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.

这些步骤用框图表示：

函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。

预测2007年的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。

(1)题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；

(2)题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质(单调性、极值和最值等)来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。

2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用。

1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；

2．学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题。

由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形(一般式、顶点式、零点式等)，所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质。

(1)二次函数的一般式中有三个参数. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数。

(2)数形结合：二次函数的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等。结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易，形象直观。因为二次函数在区间和区间上分别单调，所以函数在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得。

1．函数零点的求法：

①(代数法)求方程的实数根；

②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

题型1：方程的根与函数零点

例1．(1)方程lgx+x=3的解所在区间为(　 )

A．(0，1)　　　　　 B．(1，2)　　　　　 C．(2，3)　　　　　 D．(3，+∞)

(2)设a为常数，试讨论方程的实根的个数。

解析：

(1)在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图)。它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较与2的大小。当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)，故本题应选C。

(2)原方程等价于

即

构造函数和，作出它们的图像，易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况可得：

①当或时，原方程有一解；

②当时，原方程有两解；

③当或时，原方程无解。

点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。

例2．(2005广东19)设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有。

(Ⅰ)试判断函数的奇偶性；

(Ⅱ)试求方程=0在闭区间［－2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论。

解析：由f(2－x)=f(2+x),f(7－x)=f(7+x)得函数的对称轴为,

从而知函数不是奇函数,

由

,从而知函数的周期为

又,故函数是非奇非偶函数;

(II)由

(III) 又

故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[－2005.0]上有400个解,所以函数在[－2005,2005]上有802个解。

点评：解题过程注重了函数的数字特征“”，即函数的零点，也就是方程的根。

题型2：零点存在性定理

例3．(2004广东21)设函数，其中常数为整数。

(1)当为何值时，；

(2)定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得

试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根。

解析：(1)函数f(x)=x－ln(x+m),x∈(－m,+∞)连续，且

当x∈(－m,1－m)时,f ^’(x)<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1－m)

当x∈(1－m, +∞)时,f ^’(x)>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1－m)

根据函数极值判别方法，f(1－m)=1－m为极小值，而且

对x∈(－m, +∞)都有f(x)≥f(1－m)=1－m

故当整数m≤1时，f(x) ≥1－m≥0

(2)证明：由(I)知，当整数m>1时，f(1－m)=1-m<0,

函数f(x)=x－ln(x+m),在 上为连续减函数.

由所给定理知，存在唯一的

而当整数m>1时，

类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续增函数且 f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的

故当m>1时，方程f(x)=0在内有两个实根。

点评：本题以信息给予的形式考察零点的存在性定理。解决该题的解题技巧主要在区间的放缩和不等式的应用上。

例4．若函数在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是(　 )

A．若，不存在实数使得；

B．若，存在且只存在一个实数使得；

C．若，有可能存在实数使得；

D．若，有可能不存在实数使得；

解析：由零点存在性定理可知选项D不正确；对于选项B，可通过反例“在区间上满足，但其存在三个解”推翻；同时选项A可通过反例“在区间上满足，但其存在两个解”；选项D正确，见实例“在区间上满足，但其不存在实数解”。

点评：该问题详细介绍了零点存在性定理的理论基础。

题型3：二分法的概念

例5．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是()

A．“二分法”求方程的近似解一定可将在[a,b]内的所有零点得到；

B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到在[a,b]内的零点；

C．应用“二分法”求方程的近似解，在[a,b]内有可能无零点；

D．“二分法”求方程的近似解可能得到在[a,b]内的精确解；

解析：如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解，二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，甚至有可能得到函数的精确零点。

点评：该题深入解析了二分法的思想方法。

例6．方程在[0，1]内的近似解，用“二分法”计算到达到精确度要求。那么所取误差限是(　 )

A．0.05 　　　　B．0.005　　　　 C．0.0005　　　 D．0.00005

解析：由四舍五入的原则知道，当时，精度达到。此时差限是0.0005，选项为C。

点评：该题考察了差限的定义，以及它对精度的影响。

题型4：应用“二分法”求函数的零点和方程的近似解

例7．借助计算器，用二分法求出在区间(1，2)内的近似解(精确到0.1)。

解析：原方程即。

令，

用计算器做出如下对应值表

观察上表，可知零点在(1，2)内

取区间中点=1.5，且，从而，可知零点在(1，1.5)内；

再取区间中点=1.25，且，从而，可知零点在(1.25，1.5)内；

同理取区间中点=1.375，且，从而，可知零点在(1.25，1.375)内；

由于区间(1.25，1.375)内任一值精确到0.1后都是1.3。故结果是1.3。

点评：该题系统的讲解了二分法求方程近似解的过程，通过本题学会借助精度终止二分法的过程。

例8．借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解(精确到)。

分析：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？

略解：图象在闭区间，上连续的单调函数，在，上至多有一个零点。

点评：①第一步确定零点所在的大致区间，，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；

②建议列表样式如下：

零点所在区间	中点函数值	区间长度
[1，2]	>0	1
[1，1.5]	<0	0.5
[1.25，1.5]	<0	0.25

如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步。

题型5：一元二次方程的根与一元二次函数的零点

例9．　设二次函数，方程的两个根满足.　 当时，证明。

证明：由题意可知，

,

∴ ,

∴　 当时，。

又,

∴　 ,

综上可知，所给问题获证。

点评：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式。

例10．已知二次函数，设方程的两个实数根为和.

(1)如果，设函数的对称轴为，求证：；

(2)如果，，求的取值范围.

解析：设，则的二根为和。

(1)由及，可得　 ，即，

即

两式相加得，所以，；

(2)由, 可得　 。

又，所以同号。

∴ ，等价于

或,

即　 或

解之得　 或。

点评：条件实际上给出了的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化。

题型6：一元二次函数与一元二次不等式

例11．设，若，，, 试证明：对于任意，有。

解析：∵ ,

∴ ,

∴ .

∴ 当时，

当时，

综上，问题获证。

点评：本题中，所给条件并不足以确定参数的值，但应该注意到：所要求的结论不是确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用来表示。

例12．已知二次函数，当时，有，求证：当时，有

解析：由题意知：，

∴ ，

∴ 。

由时，有，可得 。

∴ 　,

。

　　 (1)若，则在上单调，故当时，

∴ 　此时问题获证.

(2)若，则当时，　　　　　　　　　

又，

∴ 　此时问题获证。

综上可知：当时，有。

点评：研究的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数. 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑，，，这样做的好处有两个：一是的表达较为简洁，二是由于正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的。

要考虑在区间上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑在区间端点和顶点处的函数值。

题型7：二次函数的图像与性质

例13．(1996上海，文、理8)在下列图象中，二次函数y=ax²+bx与指数函数y=()^x的图象只可能是(　　 )

解析一：由指数函数图象可以看出0<<1.抛物线方程是y=a(x+)²－，其顶点坐标为(－，－)，又由0<<1，可得－<－<0.观察选择支，可选A。

解析二：求y=ax²+bx与x轴的交点，令ax²+bx=0，解得x=0或x=－，而－1<－<0.故选A。

点评：本题虽小，但一定要细致观察图象，注意细微之处，获得解题灵感。

例14．(2002全国高考题)设a∈R，函数f(x)=x²+|x－a|+1,x∈R.

(1)讨论f(x)的奇偶性

(2)求f(x)的最小值.

解：(1)显然a=0时，f(x)为偶函数，

当a≠0时，f(a)=a²+1, f(－a)=a²+2|a|+1

f(a)≠f(－a), f(a)+f(－a)≠0

∴ 此时f(x)为非奇非偶函数.

(2)首先应先去掉绝对值，再进行讨论.

①当x≤a时，.

若,则f(x)在区间(-∞，a]上单调递减，

∴ 　f(x)的最小值为f(a)=a²+1.(如图(I))

若，则f(x)在区间(-∞，a]上的最小值为(如图II).

②当x≥a时，，

若，则f(x)在[a,+∞]上的最小值为(如图III)。

若，则f(x)在[a,+∞]上单调递增。

则f(x)在[a,+∞]上的最小值为f(a)=a²+1.(如图IV)。

综上，当时，f(x)最小值为。

当时，f(x)最小值为a²+1。

当时，f(x)最小值为。

点评：该题考察到函数的图像与性质的综合应用，考察了分类讨论的思想。

题型8：二次函数的综合问题

例15．(2005浙江文20)已知函数和的图象关于原点对称，且。

(Ⅰ)求函数的解析式；

　 (Ⅱ)解不等式；

　 (Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围。

解析：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则

∵点在函数的图象上

∴

(Ⅱ)由

当时，，此时不等式无解。

当时，，解得。

因此，原不等式的解集为。

(Ⅲ)

①

②

ⅰ)

ⅱ)

点评：本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。

例16．已知函数。

(1)将的图象向右平移两个单位，得到函数，求函数的解析式；

(2)函数与函数的图象关于直线对称，求函数的解析式；

(3)设，已知的最小值是且，求实数的取值范围。

解析：(1)

(2)设的图像上一点，点关于的对称点为，由点Q在的图像上，所以

　　　　 ，

于是　　　

即　　　　

(3)。

设，则。

问题转化为：对恒成立.　 即

　　　　　 对恒成立.　　 (*)

故必有.(否则，若，则关于的二次函数开口向下，当充分大时，必有；而当时，显然不能保证(*)成立.)，此时，由于二次函数的对称轴，所以，问题等价于，即，

解之得：。

此时，，故在取得最小值满足条件。

点评：紧扣二次函数的顶点式对称轴、最值、判别式显合力。

3．二次函数的基本性质

(1)二次函数的三种表示法：y=ax²+bx+c；y=a(x－x₁)(x－x₂)；y=a(x－x₀)²+n。

(2)当a>0，f(x)在区间［p，q］上的最大值M，最小值m，令x₀= (p+q)。

若－<p，则f(p)=m，f(q)=M；

若p≤－<x₀，则f(－)=m，f(q)=M；

若x₀≤－<q，则f(p)=M，f(－)=m；

若－≥q，则f(p)=M，f(q)=m。

(3)二次方程f(x)=ax²+bx+c=0的实根分布及条件。

①方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)<0；

②二次方程f(x)=0的两根都大于r

③二次方程f(x)=0在区间(p，q)内有两根

④二次方程f(x)=0在区间(p，q)内只有一根f(p)·f(q)<0，或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p，q)内成立。