2．我们以这个5次多项式函数为例加以说明，设：

f(x)=a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀

首先，让我们以5次多项式一步步地进行改写：

f(x)=(a₅x⁴+a₄x³+a₃x²+a₂x+a₁)x+a₀

=((a₅x³+a₄x²+ a₃x+a₂)x+a₁)x+a₀

=(((a₅x²+a₄x+ a₃)x+a₂)x+a₁)x+a₀

=((((a₅x+a₄)x+ a₃)x+a₂)x+a₁)x+a₀

上面的分层计算。只用了小括号，计算时，首先计算最内层的括号，然后由里向外逐层计算，直到最外层的括号，然后加上常数项即可。

1．求最大公约数

(1)辗转相除法

程序框图与程序语句

程序：

INPUT “m，n=”;m,n

DO

r=m MOD n

m=n

n=r

LOOP UNTIL r=0

PRINT 　　

END

(2)更相减损术

更相减损术程序：

INPUT “请输入两个不相等的正整数”；a，b

i=0

WHILE a MOD 2=0 AND b MOD 2=0

a=a/2

b=b/2

i=i+1

WEND

DO

IF b<a THEN

t=a

a=b

b=t

END IF

c=a－b

a=b

b=c

LOOP UNTIL a=b

PRINT a^i

END

对于两个正整数如何选择合适的方法求他们的最大公约数

6]　　 －3　　　 0　　　 15

[－3　　 6]　　　 0　　　 15

[－3　　 0　　　 6]　　 15

[－3　　 0　　　 6　　　 15]

用冒泡排序法排序：

题型4：进位值

例7．把十进制数89化为三进制数，并写出程序语句.

解析：具体的计算方法如下：

89=3×29+2

29=3×9+2

9=3×3+0

3=3×1+0

1=3×0+1

所以:89₍₁₀₎=1011001₍₃₎。

点评：根据三进制数满三进一的原则，可以用3连续去除89及其所的得的商，然后按倒序的先后顺序取出余数组成数据即可。

例8．将8进制数314706₍₈₎化为十进制数，并编写出一个实现算法的程序。

解析：314706₍₈₎=3×8⁵+1×8⁴+4×8³+7×8²+0×8¹+6×8⁰=104902。

所以，化为十进制数是104902。

点评：利用把k进制数转化为十进制数的一般方法就可以把8进制数314706₍₈₎化为十进制数，然后根据该算法，利用GET函数，应用循环结构可以设计程序。

题型1：求最大公约数

例1．(1)用辗转相除法求123和48的最大公约数？

(2)用更相减损来求80和36的最大公约数？

解析：(1)辗转相除法求最大公约数的过程如下：(建立带余除式)

　123＝2×48+27

　48＝1×27+21

　27＝1×21+6

　21＝3×6+3

　6＝2×3+0

最后6能被3整除，得123和48的最大公约数为3。

(2)分析：我们将80作为大数，36作为小数，执行更相减损术来求两数的最大公约数。执行结束的准则是减数和差相等。

更相减损术：

因为80和36都是偶数，要去公因数2。

80÷2=40，36÷2=18；

40和18都是偶数，要去公因数2。

40÷2=20，18÷2=9

下面来求20与9的最大公约数，

20－9=11

11－9=2

9－2=7

7－2=5

5－2=3

3－2=1

2－1=1

可得80和36的最大公约数为2²×1=4。

点评：对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为0，更相减损术是到达减数和差相等。

例2．设计一个算法，求出840与1764的最大公因数。

解析：我们已经学习过了对自然数的素因数分解的方法，下面的算法就是在此基础上设计的。

解题思路如下：

首先对两个数进行素因数分解：

840=2³×3×5×7，1764=2²×3²×7²_，

其次，确定两个数的公共素因数：2，3，7。

接着确定公共素因数的指数：对于公共素因数2，840中为2³，1764中为2²，应取较少的一个2²，同理可得下面的因数为3和7。

算法步骤：

第一步：将840进行素数分解2³×3×5×7；

第二步：将1764进行素数分解2²×3²×7²；

第三步：确定它们的公共素因数：2，3，7；

第四步：确定公共素因数2，3，7的指数分别是：2，1，1；

第五步：最大公因数为2²×3¹×7¹=84。

点评：质数是除1以外只能被1和本身整除的正整数，它应该是无限多个，但是目前没有一个规律来确定所有的质数。

题型2：秦九韶算法

例3．(2005北京，14)已知n次多项式，如果在一种算法中，计算(k＝2，3，4，…，n)的值需要k－1次乘法，计算的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算的值共需要　　　　　　　 次运算。下面给出一种减少运算次数的算法：(k＝0， 1，2，…，n－1)．利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需要　　　　 次运算。

答案：65；20。

点评：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+….+a₁x+a₀的求值问题。直接法乘法运算的次数最多可到达，加法最多n次。秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次，加法最多n次。

例4．已知多项式函数f(x)=2x⁵－5x⁴－4x³+3x²－6x+7，求当x=5时的函数的值。

解析：把多项式变形为：f(x)= 2x⁵－5x⁴－4x³+3x²－6x+7

=((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7

计算的过程可以列表表示为：

多项式x系数	2	－5	－4	3	－6	7	运算
运算所得的值		10	25	105	540	2670	+
变形后x的"系数"	2	5	21	108	534	2677	*5

最后的系数2677即为所求的值。

算法过程：

v₀=2

v₁=2×5－5=5

v₂=5×5－4=21

v₃=21×5+3=108

v₄=108×5－6=534

v₅=534×5+7=2677

点评：如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为0的项补齐后再计算。

题型三：排序

例4．试用两种排序方法将以下8个数：7,1,3,12,8,4,9,10。按照从大到小的顺序进行排序。

解析：可以按照直接插入排序和冒泡排序这两种方法的要求，结合图形，分析写出。

直接插入法排序：

7]　 1　 3　 12　 8　 4　 9　 10

[7　 1]　 3　 12　 8　 4　 9　 10

[7　 3　 1]　 12　 8　 4　 9　 10

[12　 7　 3　　 1]　 8　 4　 9　 10

[12　 8　 7　　 3　 1]　 4　 9　 10

[12　 8　 7　　 4　　 3　 1]　 9　 10

[12　 9　 8　　 7　　 4　 3　 1]　 10

[12　 10　 9　　 8　　 7　　 4　 3　 1]　

冒泡排序

第一趟

第2趟　 第3趟　　 第4趟　　 第5趟　 第6趟

点评：直接插入法和冒泡法排序是常见的排序方法，通过该例，我们对比可以发现，直接插入排序比冒泡排序更有效一些，执行的操作步骤更少一些。

例6．给出以下四个数：6，－3，0，15，用直接插入法排序将它们按从小到大的顺序排列，用冒泡法将它们按从大到小的顺序排列。

分析：不论从大到小的顺序还是按从大到小的顺序，都可按两种方法的步骤进行排序。

解析：

直接插入排序法：

4．进位制

(1)概念

进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。

对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。

一般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：

，

而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001₍₂₎表示二进制数,34₍₅₎表示5进制数。

(2)进位制间的转换

关于进位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其它进制之间的转换。这样做的原因是，计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据，因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制数，同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出。

非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可：

第一步：从左到右依次取出k进制数各位上的数字，乘以相应的k的幂，k的幂从n开始取值，每次递减1，递减到0，即；

第二步：把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制数。

十进制数转换成非十进制数

把十进制数转换为二进制数，教科书上提供了“除2取余法”，我们可以类比得到十进制数转换成k进制数的算法“除k取余法”。

非十进制之间的转换

一个自然的想法是利用十进制作为桥梁。教科书上提供了一个二进制数据与16进制数据之间的互化的方法，也就是先有二进制数转化为十进制数，再由十进制数转化成为16进制数。

7．将新数据列中的第7个数97与右边相邻的数49进行比较，因为49<97，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：

{38，49，65， 76， 13，97， 49，27}

我们把上述过程称为一趟排序。其基本特征是最大的数据沉到底，即排在最左边位置上的数据是数组中最大的数据。反复执行上面的步骤，就能完成排序工作，排序过程不会超过7趟。这种排序的方法称为冒泡排序。

上面的分析具有一般性，如果数据列有n个数据组成，至多经过n－1趟排序，就能完成整个排序过程。

6．将新数据列中的第6个数97与右边相邻的数27进行比较，因为27<97，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：

{38，49，65， 76， 13，97，27，49}

5．将新数据列中的第5个数97与右边相邻的数13进行比较，因为13<97，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：

{38，49，65， 76， 13，97，27，49}

4．将新数据列中的第4个数97与右边相邻的数76进行比较，因为76<97，97应下沉，所以顺序不变，得到新的数据列：

{38，49，65， 76，97，13，27，49}

3．将新数据列中的第3个数65与右边相邻的数97进行比较，因为97>65，所以顺序不变，得到新的数据列：

{38，49，65，97，76，13，27，49}