2．斜三角形中各元素间的关系：

如图6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。

(1)三角形内角和：A+B+C＝π。

(2)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

。

(R为外接圆半径)

(3)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

a²＝b²+c²－2bccosA；b²＝c²+a²－2cacosB；c²＝a²+b²－2abcosC。

1．直角三角形中各元素间的关系：

如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。

(1)三边之间的关系：a²+b²＝c²。(勾股定理)

(2)锐角之间的关系：A+B＝90°；

(3)边角之间的关系：(锐角三角函数定义)

sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。

对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题。

(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；

(2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

5．突出向量与其它数学知识的交汇

“新课程增加了新的现代数学内容，其意义不仅在于数学内容的更新，更重要的是引入新的思维方法，可以更有效地处理和解决数学问题和实际应用问题”。因此，新课程卷中有些问题属于新教材与旧教材的结合部，凡涉及此类问题，高考命题都采用了新旧结合，以新带旧或以新方法解决的方法进行处理，从中启示我们在高考学习中，应突出向量的工具性，注重向量与其它知识的交汇与融合，但不宜“深挖洞”。我们可以预测近两年向量高考题的难度不会也不应该上升到压轴题的水平。

4．注重数学思想方法的教学

①．数形结合的思想方法。

由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。

②．化归转化的思想方法。

向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。

③．分类讨论的思想方法。

如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量(共线向量)可分为同向向量和反向向量；向量在方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的随分点P的位置不同，可以大于零，也可以小于零。

3．向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直；

2．平面向量数量积的运算律

特别注意：

(1)结合律不成立：；

(2)消去律不成立不能得到；

(3)=0不能得到=或=。

1．两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定；

(2)两个向量的数量积称为内积，写成·；今后要学到两个向量的外积×，而×是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；

(3)在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若¹0，且×=0，不能推出=。因为其中cosq有可能为0；

(4)已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bc Þ a=c。但是×= ×；

如右图：×= |||cosb = |||OA|，×c = ||c|cosa = |||OA|Þ× =×，但 ¹；

　(5)在实数中，有(×) = 　(×)，但是(×)¹ 　(×)，显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与c不共线。

题型1：数量积的概念

例1．判断下列各命题正确与否：

(1)；

(2)；

(3)若，则；

(4)若，则当且仅当时成立；

(5)对任意向量都成立；

(6)对任意向量，有。

解析：(1)错；(2)对；(3)错；(4)错；(5)错；(6)对。

点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚为零向量，而为零。

例2．(1)(2002上海春，13)若、、为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是(　　 )

A．　 　　　　　　　 B．

C．m()=m+m　 　　　　　 　　D．

(2)(2000江西、山西、天津理，4)设、、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则

①(·)－(·)=　 ②||－||<|－|　 ③(·)－(·)不与垂直

④(3+2)(3－2)=9||²－4||²中，是真命题的有(　　 )

A.①②　 　　　　　　　　　 B.②③　 　　　　　　　　　　 C.③④　 　　　　　　　　　　 D.②④

解析：(1)答案：D；因为，而；而方向与方向不一定同向。

(2)答案：D①平面向量的数量积不满足结合律。故①假；②由向量的减法运算可知||、||、|－|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［(·)－(·)］·=(·)·－(·)·=0，所以垂直.故③假；④(3+2)(3－2)=9··－4·=9||²－4||²成立。故④真。

点评：本题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。

题型2：向量的夹角

例3．(1)(06全国1文，1)已知向量、满足、，且，则与的夹角为(　　 )

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　 D．

(2)(06北京文，12)已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么与的夹角的大小是　　　　　　　　　　　 。

(3)已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。

(4)(2005北京3)| |=1，| 　|=2，= + ，且⊥，则向量与的夹角为　　　　 (　　 )

　　　 A．30°　　　　　　　　　 B．60°　　　　　　　　　 C．120°　　　　　　　　 D．150°

解析：(1)C；(2)；

(3)由题意，，且与的夹角为，

所以，，

，

，

同理可得。

而，

设为与的夹角，

则。

(4)C；设所求两向量的夹角为

　　　 　即：

所以

点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式，要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直(平行)的充要条件必需掌握。

例4．(1)(06全国1理，9)设平面向量、、的和。如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则(　　 )

A．－++=　　　　　　　　　　 B．-+=

C．+-=　　　　　　　　　　　 D．++=

(2)(06湖南理，5)已知 且关于的方程有实根, 则与的夹角的取值范围是(　　 )

A．　　　　　　 B．　　　　 C．　　　　　　 D．

解析：(1)D；(2)B；

点评：对于平面向量的数量积要学会技巧性应用，解决好实际问题。

题型3：向量的模

例5．(1)(06福建文，9)已知向量与的夹角为，则等于(　 )

　 A．5　　B．4　　C．3　　D．1

(2)(06浙江文，5)设向量满足,,则(　 )

A．1　　　　　 　　　B．2　　　　　 　　　C．4　　　　　 　　D．5

解析：(1)B；(2)D；

点评：掌握向量数量积的逆运算，以及。

例6．已知＝(3，4)，＝(4，3)，求x,y的值使(x+y)⊥，且｜x+y｜=1。

解析：由＝(3，4)，＝(4，3)，有x+y=(3x+4y,4x+3y)；

又(x+y)⊥(x+y)·＝03(3x+4y)+4(4x+3y)=0；

即25x+24y＝0　　　　　　　　　　　 ①；

又｜x+y｜=1｜x+y｜²＝1；

(3x+4y)²+(4x+3y)²＝1；

整理得25x²+48xy+25y²＝1即x(25x+24y)+24xy+25y²＝1　　 ②；

由①②有24xy+25y²＝1　　　　　　　 ③；

将①变形代入③可得：y=±；

再代回①得：。

点评：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想。

题型4：向量垂直、平行的判定

例7．(2005广东12)已知向量，，且，则　　　 。

解析：∵，∴，∴，∴。

例8．已知，，，按下列条件求实数的值。(1)；(2)；。

解析：

(1)；

(2)；

。

点评：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算。

题型5：平面向量在代数中的应用

例9．已知。

　　 分析：，可以看作向量的模的平方，而则是、的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式。

　　 证明：设

　　 则。

点评：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如等。

例10．已知，其中。

　　 (1)求证：与互相垂直；

　　 (2)若与()的长度相等，求。

　　 解析：(1)因为

　　 所以与互相垂直。

　　 (2)，

　　 ，

　　 所以，

　　 ，

　　 因为，

　 　所以，

　　 有，

　　 因为，故，

　　 又因为，

所以。

点评：平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性。若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理。可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度。

题型6：平面向量在几何图形中的应用

例11．(2002年高考题)已知两点，且点P(x，y)使得，成公差小于零的等差数列。

(1)求证；

(2)若点P的坐标为，记与的夹角为，求。

解析：(1)略解：，由直接法得

(2)当P不在x轴上时，

而

所以，当P在x轴上时，，上式仍成立。

图1

点评：由正弦面积公式得到了三角形面积与数量积之间的关系，由面积相等法建立等量关系。

例12．用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。

已知：如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点(不与A、B重合)，求证：∠APB＝90°。

证明：联结OP，设向量，则且，

，即∠APB＝90°。

点评：平面向量是一个解决数学问题的很好工具，它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。

题型7：平面向量在物理中的应用

例13．如图所示，正六边形PABCDE的边长为b，有五个力、作用于同一点P，求五个力的合力。

解析：所求五个力的合力为，如图3所示，以PA、PE为边作平行四边形PAOE，则，由正六边形的性质可知，且O点在PC上，以PB、PD为边作平行四边形PBFD，则，由正六边形的性质可知，且F点在PC的延长线上。

由正六边形的性质还可求得

故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为，方向与的方向相同。