2．复习时要突出“曲线与方程”这一重点内容

曲线与方程有两个方面：一是求曲线方程，二是由方程研究曲线的性质.这两方面的问题在历年高考中年年出现，且常为压轴题.因此复习时要掌握求曲线方程的思路和方法，即在建立了平面直角坐标系后，根据曲线上点适合的共同条件找出动点P(x，y)的纵坐标y和横坐标x之间的关系式，即f(x，y)=0为曲线方程，同时还要注意曲线上点具有条件，确定x，y的范围，这就是通常说的函数法，它是解析几何的核心，应培养善于运用坐标法解题的能力，求曲线的常用方法有两类：一类是曲线形状明确且便于用标准形式，这时用待定系数法求其方程；另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示，一般可用直接法、间接代点法、参数法等求方程。二要引导如何将解析几何的位置关系转化的代数数量关系进而转化为坐标关系，由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练。

1．注意圆锥曲线的定义在解题中的应用，注意解析几何所研究的问题背景平面几何的一些性质；

题型1：求轨迹方程

例1．(1)一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

(2)双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程。

解析：(1)(法一)设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，

将圆方程分别配方得：，，

当与相切时，有　　　　 ①

当与相切时，有　　　　 ②

将①②两式的两边分别相加，得，

即　　　　 ③

移项再两边分别平方得：

　　　　　 ④

两边再平方得：，

整理得，

所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆。

(法二)由解法一可得方程，

由以上方程知，动圆圆心到点和的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为、，长轴长等于的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，

∴，，∴，，

∴，

∴圆心轨迹方程为。

(2)如图，设点坐标各为，∴在已知双曲线方程中，∴

∴已知双曲线两焦点为，

∵存在，∴

由三角形重心坐标公式有，即 。

∵，∴。

已知点在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有

即所求重心的轨迹方程为：。

点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法。

例2．(2001上海，3)设P为双曲线y²＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是　　 　　　。

解析：(1)答案：x²－4y²＝1

设P(x₀，y₀)　 ∴M(x，y)

∴　 ∴2x＝x₀，2y＝y₀

∴－4y²＝1x²－4y²＝1

　 点评：利用中间变量法(转移法)是求轨迹问题的重要方法之一。

题型2：圆锥曲线中最值和范围问题

例3．(1)设AB是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为，则△F₁AB的面积最大为(　　 )

　　 A. 　　　　　　　　　 B. 　　　　　　　　　 C. 　　　　　　　　　 D.

　　 (2)已知双曲线的左右焦点分别为F₁，F₂，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值是(　　 )

　　 A. 　　　　　　　　　 B. 　　　　　　　　　 C. 2　　　　　　　 D.

　　 (3)已知A(3，2)、B(－4，0)，P是椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为(　　 )

　　 A. 10　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

　　 C. 　　　　　　　　　　　　 D.

解析：(1)如图，由椭圆对称性知道O为AB的中点，则△F₁OB的面积为△F₁AB面积的一半。又，△F₁OB边OF₁上的高为，而的最大值是b，所以△F₁OB的面积最大值为。所以△F₁AB的面积最大值为cb。

点评：抓住△F₁AB中为定值，以及椭圆是中心对称图形。

(2)解析：由双曲线的定义，

得：，

　　 又，所以，从而

　　 由双曲线的第二定义可得，

　　 所以。又，从而。故选B。

点评：“点P在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系成立的条件。利用这个结论得出关于a、c的不等式，从而得出e的取值范围。

(3)解析：易知A(3，2)在椭圆内，B(－4，0)是椭圆的左焦点(如图)，则右焦点为F(4，0)。连PB，PF。由椭圆的定义知：

　　 ，

　　 所以。

　　 由平面几何知识，

，即，

而，

　　 所以。

点评：由△PAF成立的条件，再延伸到特殊情形P、A、F共线，从而得出这一关键结论。

例4．(1)(06全国1文，21)设P是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。

(2)(06上海文，21)已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.

①求该椭圆的标准方程；

②若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；

③过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。

(3)(06山东文，21)已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l。

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程。

解析：(1)依题意可设P(0,1)，Q(x,y),则 |PQ|=，又因为Q在椭圆上，

所以，x²=a²(1－y²)， |PQ|²= a²(1－y²)+y²－2y+1=(1－a²)y²－2y+1+a²，

　　　 =(1－a²)(y－ )²－+1+a² 。

因为|y|≤1,a>1, 若a≥, 则||≤1, 当y=时, |PQ|取最大值，

若1<a<,则当y=－1时, |PQ|取最大值2。

(2)①由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1，

　　 又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为。

②设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x₀,y₀)，

由	x=	得	x0=2x－1
y=	y0=2y－

由,点P在椭圆上,得，

∴线段PA中点M的轨迹方程是。

③当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S_△ABC=1。

当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,

解得B(,),C(－,－)，

则,又点A到直线BC的距离d=，

∴△ABC的面积S_△ABC=。

于是S_△ABC=。

由≥－1,得S_△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立。

∴S_△ABC的最大值是。

(3)解：设椭圆方程为

(Ⅰ)由已知得∴所求椭圆方程为。

(Ⅱ)解法一：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为

由，消去y得关于x的方程：，

由直线与椭圆相交于A、B两点，，解得。

又由韦达定理得，

。

原点到直线的距离。

.

解法1：对两边平方整理得：

(*)，

∵，，整理得：。

　　　 又， ，从而的最大值为，

此时代入方程(*)得　 ，。

所以，所求直线方程为：。

解法2：令，则。

　　　 当且仅当即时，，此时。

　　　 所以，所求直线方程为

解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零。

　　　 设直线l的方程为，

　　　 则直线l与x轴的交点，

　　　 由解法一知且，

　　　 解法1：

　　　　　　　　　　　　　　　　　 　=

　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

　　　 下同解法一.

　　　 解法2：。

下同解法一。

点评：文科06年高考主要考察了圆锥曲线的最值问题，主要是三角形的面积、弦长问题。处理韦达定理以及判别式问题啊是解题的关键。

题型3：证明问题和对称问题

例5．(1)(06浙江理，19)如图，椭圆＝1(a＞b＞0)与过点A(2，0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=.

(Ⅰ)求椭圆方程；

(Ⅱ)设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF的中点，求证：∠ATM=∠AFT。

(2)(06湖北理，20)设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。

(Ⅰ)、求椭圆的方程；

(Ⅱ)、设为右准线上不同于点(4，0)的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。

(3)(06上海理，20)在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点。

①求证：“如果直线过点T(3，0)，那么＝3”是真命题；

②写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

解析：(1)(I)过点、的直线方程为

因为由题意得有惟一解，

即有惟一解，

所以　 ()，故

又因为 即　 所以　 从而得　

故所求的椭圆方程为

(II)由(I)得　 故从而

由，解得所以

因为又

得因此

点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

(2)(Ⅰ)依题意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝.

故椭圆的方程为 .

(Ⅱ)解法1：由(Ⅰ)得A(－2，0)，B(2，0).设M(x₀，y₀).

∵M点在椭圆上，∴y₀＝(4－x₀²).　　　　　　　　　　　 1

又点M异于顶点A、B，∴－2<x₀<2，由P、A、M三点共线可以得

P(4，).

从而＝(x₀－2，y₀)，

＝(2，).

∴·＝2x₀－4+＝(x₀²－4+3y₀²).　　　 2

将1代入2，化简得·＝(2－x₀).

∵2－x₀>0，∴·>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，

故点B在以MN为直径的圆内。

解法2：由(Ⅰ)得A(－2，0)，B(2，0).设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，

则－2<x₁<2，－2<x₂<2，又MN的中点Q的坐标为(，)，

依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差

－＝(－2)²+()²－[(x₁－x₂)²+(y₁－y₂)²]

　　　　　　　 　＝(x₁－2) (x₂－2)+y₁y₁　　　　　　　　 　　3

又直线AP的方程为y＝，直线BP的方程为y＝，

而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上，

∴，即y₂＝　　　　　　　　　　　 4

又点M在椭圆上，则，即　　　　 5

于是将4、5代入3，化简后可得－＝.

从而，点B在以MN为直径的圆内。

点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。

(3)证明：①设过点T(3,0)的直线l交抛物线y²=2x于点A(x₁,y₁)、B(x₁₂,y₂).

　　 当直线l的钭率下存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于A(3,)、B(3,－)，∴=3。

　　 当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x－3),其中k≠0.

当	y2=2x	得ky2－2y－6k=0,则y1y2=－6.
y=k(x－3)

　　 又∵x₁=y, x₂=y,

∴=x₁x₂+y₁y₂==3.

综上所述, 命题“如果直线l过点T(3,0),那么=3”是真命题.

②逆命题是：设直线l交抛物线y²=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.

例如：取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,

直线AB的方程为Y=(X+1),而T(3,0)不在直线AB上.

点评：由抛物线y²=2x上的点A(x₁,y₁)、B(x₁₂,y₂)满足=3,可得y₁y₂=－6。或y₁y₂=2，如果y₁y₂=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y₁y₂=2, 可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0)。

例6．(1)(06北京文，19)椭圆C:的两个焦点为F₁,F₂,点P在椭圆C上，且

　　 (Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)若直线l过圆x²+y²+4x-2y=0的圆心，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程。

(2)(06江苏，17)已知三点P(5，2)、(－6，0)、(6，0)。

(Ⅰ)求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

解析：(1)解法一：

(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.

在Rt△PF₁F₂中，故椭圆的半焦距c=，从而b²=a²－c²=4，所以椭圆C的方程为＝1。

(Ⅱ)设A，B的坐标分别为(x₁,y₁)、(x₂,y₂)。

　 已知圆的方程为(x+2)²+(y－1)²=5,所以圆心M的坐标为(－2，1).

　 从而可设直线l的方程为

　 y=k(x+2)+1,

　 代入椭圆C的方程得

　 (4+9k²)x²+(36k²+18k)x+36k²+36k－27=0.

　 因为A，B关于点M对称.

　 所以

　 解得，

　 所以直线l的方程为

　 即8x-9y+25=0.

　 (经检验，所求直线方程符合题意)

解法二：

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)已知圆的方程为(x+2)²+(y－1)²=5,所以圆心M的坐标为(－2，1).

　 设A，B的坐标分别为(x₁,y₁),(x₂,y₂).由题意x₁x₂且

　 ①

　 ②

由①－②得：　　　　　　　 ③

因为A、B关于点M对称，所以x₁+ x₂=－4，y₁+ y₂=2。

代入③得＝，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y－1＝(x+2)，

即8x－9y+25=0。

(经检验，所求直线方程符合题意.)

(2)①由题意可设所求椭圆的标准方程为(a>b>0),其半焦距c=6,∴,b²=a²-c²=9。

所以所求椭圆的标准方程为

②点P(5,2)、F₁(-6,0)、F₂(6,0)关于直线y=x的对称点分别为点P^，(2，5)、F₁^，(0，-6)、F₂^，(0，6)。

设所求双曲线的标准方程为。

由题意知，半焦距c₁=6，。

,b₁²=c₁²-a₁²=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为。

点评：本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力。

题型4：知识交汇题

例7．(06辽宁,20)已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为

(I) 证明线段是圆的直径;

(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求p的值。

解析：(I)证明1:

整理得:

设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则

即

整理得:

故线段是圆的直径

证明2:

整理得:

……..(1)

设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则

即

去分母得:

点满足上方程,展开并将(1)代入得:

故线段是圆的直径

证明3:

整理得:

……(1)

以线段AB为直径的圆的方程为

展开并将(1)代入得:

故线段是圆的直径

(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则

又因

所以圆心的轨迹方程为

设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则

当y=p时,d有最小值,由题设得

.

解法2: 设圆C的圆心为C(x,y),则

又因

所以圆心的轨迹方程为

设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则

因为x-2y+2=0与无公共点,

所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为

将(2)代入(3)得

解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则

圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则

又因

当时,d有最小值,由题设得

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