0  430708  430716  430722  430726  430732  430734  430738  430744  430746  430752  430758  430762  430764  430768  430774  430776  430782  430786  430788  430792  430794  430798  430800  430802  430803  430804  430806  430807  430808  430810  430812  430816  430818  430822  430824  430828  430834  430836  430842  430846  430848  430852  430858  430864  430866  430872  430876  430878  430884  430888  430894  430902  447090 

2.(2003北京)若数列{an}的通项公式是

an=,n=1,2,…,则 (a1+a2+…+an)等于

A.    B.   C.    D.

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1. n(1-)(1-)(1-)…(1-)]等于  (  )

A.0  B.1     C.2        D.3

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4.在日常学习过程中,注意化归思想、分类讨论思想和极限思想的运用.

同步练习  

[选择题]

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3. 对含参数的题目要看是否需要分类讨论;

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2. 对 型的极限,要分别通过“约去使分母为零的因式、同除以分子、分母的最高次幂、有理化分子”等变形,化归转化后再求极限值。

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1. 极限的四则运算法则只用于有限次的运算,对于n项和的极限,要先求和再求极限;

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[例1] 求下列极限:

(1);  (2) (n);

(3)(++…+).

分析:(1)因为分子分母都无极限,故不能直接运用商的极限运算法则,可通过变形分子分母同除以n2后再求极限;(2)因n都没有极限,可先分子有理化再求极限;(3)因为极限的运算法则只适用于有限个数列,需先求和再求极限.

解:(1)==

(2) (n)= ==

(3)原式===(1+)=1.

特别提示::对于(1)要避免下面两种错误:①原式===1,②∵(2n 2+n+7), (5n2+7)不存在,∴原式无极限.对于(2)要避免出现下面两种错误:      ①(n)= n=∞-∞=0;②原式=n=∞-∞不存在.对于(3)要避免出现原式=++…+=0+0+…+0=0这样的错误.

[例2] 已知数列{an}是由正数构成的数列,a1=3,且满足lgan=lgan1+lgc,其中n是大于1的整数,c是正数.

(1)求数列{an}的通项公式及前nSn

(2)求的值.

解:(1)由已知得anc·an1,

∴{an}是以a1=3,公比为c的等比数列,则an=3·cn1

Sn

(2)

①当c=2时,原式=-;

②当c>2时,原式==-;

③当0<c<2时,原式=

评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.

[例3] 已知直线l:xny=0(n∈N *),圆M:(x+1)2+(y+1)2=1,抛物线:y=(x-1)2,又lM交于点ABl交于点CD,求

分析:要求的值,必须先求它与n的关系.

解:设圆心M(-1,-1)到直线l的距离为d,则d2=

r=1,∴|AB|2=4(1-d2)=

设点C(x1,y1), D(x2,y2),

nx2-(2n+1)x+n=0,

x1+x2=, x1·x2=1.

∵(x1x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=,(y1y2)2=()2=,

∴|CD|2=(x1x2)2+(y1y2)2

=(4n+1)(n2+1).

===2.

评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限,需先求,这就要求掌握求弦长的方法.

[例4]若数列{an}的首项为a1=1,且对任意n∈N*,anan+1恰为方程x2bnx+cn=0的两根,其中0<|c|<1,当(b1+b2+…+bn)≤3时,求c的取值范围.

解:首先,由题意对任意n∈N*,an·an+1=cn恒成立.

===c.又a1·a2=a2=c

a1,a3,a5,…,a2n1,…是首项为1,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,…,a2n,…是首项为c,公比为c的等比数列.其次,由于对任意n∈N*,an+an+1=bn恒成立.

==c.又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c,

b1,b3,b5,…,b2n1,…是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,…,b2n,…是首项为2c,公比为c的等比数列,

(b1+b2+b3+…+bn)

= (b1+b3+b5+…)+ (b2+b4+…)

=+≤3.

解得cc>1.∵0<|c|<1,∴0<c或-1<c<0.

c的取值范围是(-1,0)∪(0,].

提炼方法: 本题的解题目标是将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式,即将{bn}的各项和表示为关于c的解析式;关键是对数列特点的分析和运用;显然“起点”应是一元二次方程根与系数的关系.

[研讨.欣赏]在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法进行:从原点出发,在x轴上向正方向前进a(a>0)个单位后,向左转90°,前进a r (0<r<1=个单位,再向左转90°,又前进a r2个单位,…,如此连续下去.

(1)若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原定方案相同,则大本营在何处寻找小分队?

(2)若其中的r为变量,且0<r<1,则行动的最终目的地在怎样的一条曲线上?

剖析:(1)小分队按原方案走,小分队最终应在运动的极限位置.

(2)可先求最终目的地关于r的参数形式的方程.

解:(1)由已知可知即求这样运动的极限点,设运动的极限位置为Q(x,y),则

x=aar2+ar4-…==,

y=arar3+ar5-…=,

∴大本营应在点(,)附近去寻找小分队.

(2)由消去r得(x)2+y2=(其中x,y>0),

即行动的最终目的地在以(,0)为圆心,为半径的圆上.

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6. -1

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5. =0.12+0.0012+…=0.12/(1─0.01) =4/33.

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4. .分子先求和,再求极限.

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