3．函数的图象关于直线对称．则_____________．

2．已知函数的定义域和值域都是，则实数a的值是　 ________

1．函数的定义域是____________________．

补充：⑴=是以(,)为顶点、对称轴平行于y轴、开口向上的抛物线(如图);它的单调区间是(-,]与[,+ );它在(-,]上是减函数，在[,+ )上是增函数. 　

证明：设<,则

－=--5(-)

=(+-5) (-)

∵<,∴+<5，-<0，

∴－>0,即 > ..

∴=-5+6在(-,]上是减函数.

类似地，可以证明在[,+)上是增函数.

⑵=-+9的图象是以(0,9)为顶点、轴为对称轴、开口向下的一条抛物线(如图)；它的单调区间是(-,0]与[0,+)，它在(-,0]上是增函数，在[0,+)上是减函数.

证明：设<0,则－=-+=(+) (-)

∵<0,∴+<0，->0，

∴－<0,即<

.∴=9-在(-,0]上是增函数.

类似地，可以证明在[0,+)上是减函数.

⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是：⑴设,是给定区间内的任意两个值，且<；⑵作差－，并将此差式变形(要注意变形的程度)；⑶判断－的正负(要注意说理的充分性)；⑷根据－的符号确定其增减性.

答案：的单调区间有[-2,-1]，[-1,0]，[0,1]，[1,2]；在区间[-2,-1]，[0,1]上是增函数，在区间[-1,0]，[1,2]上是减函数.

的单调区间有[-,-]，[-,]，[, ]；在区间[-,-]，[，]上是减函数，在区间[-，]上是增函数.

说明：要了解函数在某一区间是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格地说，它需要根据增(减)函数的定义进行证明，下面举例说明.

2判断函数在R上是增函数还是减函数？并证明你的结论.

解：设,∈R，且<，

∵－=(-3+2)-(-3+2)=3(-),

又<,∴－>0,即 > .

∴在R上是减函数.

3判断函数=在(-,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论.

解：设,∈(-，0)，且<，

∵－=－==,

由,∈(-，0)，得>0,

又由<,得－>0 ,于是－>0,即 > .

∴= 在(0,+ )上是减函数.

能否说函数= 在(-，+)上是减函数？

答：不能. 因为=0不属于= 的定义域.

说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.

4 ⑴ 判断函数在R上的单调性，并说明理由.

⑵ 课本P60练习：4.

解：⑴设,∈R，且<,

则－=(k+b)-(k+b)=k(-).

若k>0，又<,∴－<0,即 <

.∴在R上是增函数.

若k<0，又<,∴－>0,即 > .

∴在R上是减函数.

⑵设,∈(0,+)，且<，

∵－=(+1)-(+1)= -=(+) (-)

　∵0<<,∴+>0，-<0，

∴－<0,即<，

∴=+1在(0,+)上是增函数.

例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.

解：函数的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数.

说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.

例2 证明函数在R上是增函数.

证明：设是R上的任意两个实数，且<，则

－=(3+2)-(3+2)=3(－),

由<x,得－<0 ,于是－<0,即 <.

∴在R上是增函数.

例3 证明函数在(0,+)上是减函数.

证明：设,是(0,+)上的任意两个实数，且<，

则－=－=,

由,∈(0,+ )，得>0,

又由<,得－>0 ,于是－>0,即>

∴在(0,+ )上是减函数.

例4．讨论函数在(-2,2)内的单调性.

解：∵，对称轴

∴若,则在(-2,2)内是增函数；

若则在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数

若,则在(-2,2)内是减函数.

⒈ 增函数与减函数

定义：对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，⑴若当<时，都有<,则说在这个区间上是增函数(如图3)；⑵若当<时，都有>,则说在这个区间上是减函数(如图4).

说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数(图1)，当∈[0,+)时是增函数，当∈(-,0)时是减函数.

⒉ 单调性与单调区间

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.

在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；

⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数(或减函数)，例如，图5中，在那样的特定位置上，虽然使得>，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；

⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“<或>, ”改为“ 或,”即可；

⑷定义的内涵与外延：

内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；

外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.

②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.

⒈ 复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法.为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数和的图象. 的图象如图1，的图象如图2.

⒉ 引入：从函数的图象(图1)看到：

图象在轴的右侧部分是上升的，也就是说，当在区间[0，+)上取值时，随着的增大,相应的值也随着增大，即如果取∈[0，+)，得到=,=,那么当<时，有<.

这时我们就说函数==在[0,+ )上是增函数.

图象在轴的左侧部分是下降的，也就是说，

当在区间(-，0)上取值时，随着的增大，

相应的值反而随着减小，即如果取∈(-，0)，得到=,=,那么当<时，有>.

这时我们就说函数==在(-,0)上是减函数.

函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的.