1．洛伦兹力与安培力的关系

(1)洛伦兹力是单个运动电荷在磁场中受到的力，而安培力是导体中所有定向移动的自由电荷受到的洛伦兹力的宏观表现．

(2)洛伦兹力永不做功，但安培力却可以做功．

16、回旋加速器

(1)基本用途

回旋加速器是利用电场对电荷的加速作用和磁场对运动电荷的偏转作用，在较小的范围内来获得高能粒子的装置。

(2)工作原理

放在A₀处的粒子源发出一个带正电的粒子，它以某一速率v₀垂直进入匀强磁场，在磁场中做匀速圆周运动，经过半个周期，当它沿着半圆弧A₀A₁到达A₁时，在A₁A₁′处造成一个向上的电场，使这个带电粒子在A₁A₁′处受到一次电场的加速，速率由v₀增加到v₁，然后粒子以速率v₁在磁场中做匀速圆周运动。我们知道，粒子的轨道半径跟它的速率成正比，因而粒子将沿着半径增大了的圆周运动，又经过半个周期，当它沿着半圆弧A₁′A₂′到达A₂′时，在A₂′A₂处造成一个向下的电场，使粒子又一次受到电场的加速，速率增加到v₂，如此继续下去，每当粒子运动到A₁A′、A₃A₃＇等处时都使它受到向上电场的加速，每当粒子运动到A₂′A₂、A₄′A₄等处时都使它受到向下电场的加速，粒子将沿着图示的螺线A₀A₁ A₁′A₂′A₂……回旋下去，速率将一步一步地增大。

带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T＝，跟运动速率和轨道半径无关，对一定的带电粒子和一定的磁场来说，这个周期是恒定的。因此，尽管粒子的速率和半径一次比一次增大，运动周期T却始终不变，这样，如果在直线AA、A′A′处造成一个交变电场，使它以相同的周期T往复变化，那就可以保证粒子每经过直线AA和A′A′时都正好赶上适合的电场方向而被加速。

①磁场的作用

带电粒子以某一速度垂直磁场方向进入匀强磁场时，只在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，其中周期和速率与半径无关，使带电粒子每次进入D形盒中都能运动相等时间(半个周期)后，平行于电场方向进入电场中加速。

②电场的作用

回旋加速器的两个D形盒之间的窄缝区域存在周期性变化的并垂直于两D形盒直径的匀强电场，加速就是在这个区域完成的。

③交变电压

为了保证每次带电粒子经过狭缝时均被加速，使之能量不断提高，要在狭缝处加一个与T＝相同的交变电压。

(3)回旋加速器的核心

回旋加速器的核心部分是两个D形的金属扁盒，这两个D形盒就像是沿着直径把一个圆形的金属扁盒切成的两半。两个D形盒之间留一个窄缝，在中心附近放有粒子源。D形盒装在真空容器中，整个装置放在巨大电磁铁的两极之间，磁场方向垂直于D形盒的底面。把两个D形盒分别接在高频电源的两极上，如果高频电源的周期与带电粒子在D形盒中的运动周期相同，带电粒子就可以不断地被加速了。带电粒子在D形盒内沿螺线轨道逐渐趋于盒的边缘，达到预期的速率后，用特殊装置把它们引出。

D形金属扁盒的主要作用是起到静电屏蔽作用，使得盒内空间的电场极弱，这样就可以使运动的粒子只受洛伦兹力的作用做匀速圆周运动。

在加速区域中也有磁场，但由于加速区间距离很小，磁场对带电粒子的加速过程的影响很小，因此，可以忽略磁场的影响。

设D形盒的半径为R，由qvB＝m得，粒子可能获得的最大动能

E_km＝mv_m²＝

可见：带电粒子获得的最大能量与D形盒半径有关，由于受D形盒半径R的限制，带电粒子在这种加速器中获得的能量也是有限的。为了获得更大的能量，人类又发明各种类型的新型加速器。

(4)回旋加速器的优点与缺点

使人类在获得具有较高能量的粒子方面前进了一步。

用这种经典的回旋加速器加速，要想进一步提高质子的能量就很困难了。按照狭义相对论(以后会介绍)，这时粒子的质量将随着速率的增加而显著地增大，粒子在磁场中回旋一周所需的时间要发生变化。交变电场的频率不再跟粒子运动的频率一致，这就破坏了加速器的工作条件，进一步提高粒子的速率就不可能了。

例题：个长度逐渐增大的金属圆筒和一个靶，它们沿轴线排列成一串，如图所示(图中画出五、六个圆筒，作为示意图)。各筒和靶相间地连接到频率为ν，最大电压值为U的正弦交流电源的两端。整个装置放在高真空容器中，圆筒的两底面中心开有小孔。现有一电荷量为q，质量为m的正离子沿轴线射入圆筒，并将在圆筒间及靶间的缝隙处受到电场力的作用而加速(设圆筒内部没有电场)，缝隙的宽度很小，离子穿缝隙的时间可以不计，已知离子进入第一个圆筒左端的速度为v₁，且此时第一、二两个圆筒间的电势差为U₁－U₂＝－U。为使打在靶上的离子获得最大能量，各个圆筒的长度应满足什么条件？并求出在这种情况下打到靶子上的离子的能量，

解析：粒子在筒内做匀速直线运动，在缝隙处被加速，因此要求粒子穿过每个圆筒的时间均为(即)，N个圆筒至打在靶上被加速N次，每次电场力做的功均为qU。

只有当离子在各圆筒内穿过的时间都为t＝＝时，离子才有可能每次通过筒间缝隙都被加速，这样第一个圆筒的长度L₁＝v₁t＝，当离子通过第一、二个圆筒间的缝隙时，两筒间电压为U，离子进入第二个圆筒时的动能就增加了qU，所以：

E₂＝mv₂²＝mv₁²+qU

v₂＝

第二个圆筒的长度L₂＝v₂t＝×

如此可知离子进入第三个圆筒时的动能

E₃＝E₂＝mv₃²＝mv₂²+qU＝mv₁²+2qU

速度v₃＝

第三个圆筒长度L₃＝×

离子进入第n个圆筒时的动能

E_N＝mv_N²＝mv₁²+(N－1)qU

速度v_N＝

第N个圆筒的长度L_N＝×

此时打到靶上离子的动能

E_k＝E_N+qU＝mv₁²+NqU

例题：知回旋加速器中D形盒内匀强磁场的磁感应强度B＝1.5T，D形盒的半径为R＝60 cm，两盒间电压U＝2×10⁴ V，今将α粒子从间隙中心某处向D形盒内近似等于零的初速度，垂直于半径的方向射入，求粒子在加速器内运行的时间的最大可能值。

解析：带电粒子在做圆周运动时，其周期与速度和半径无关，每一周期被加速两次，每次加速获得能量为qU，根据D形盒的半径得到粒子获得的最大能量，即可求出加速次数，可知经历了几个周期，从而求总出总时间。

粒子在D形盒中运动的最大半径为R

则R＝

v_m＝

则其最大动能为E_km＝mv_m²＝

粒子被加速的次数为n＝＝

则粒子在加速器内运行的总时间为

t＝n·＝×＝4.3×10^－5s

15、使带电粒子加速的方法

利用加速电场给带电粒子加速。

由动能定理W＝ΔE_k

qU＝mv²

v＝

为了提高粒子的能量，可以设想让粒子经过多次电场来加速

带电粒子增加的动能ΔE＝mv²－mv₀²＝q(U₁+U₂+U₃+……+U_n)

14、质谱议

(1)质谱仪的结构

质谱仪由静电加速电极、速度选择器、偏转磁场、显示屏等组成。

(2)质谱仪的工作原理

mv²＝qU

v＝

r＝＝

r和进入磁场的速度无关，进入同一磁场时，r∝，而且这些个量中，U、B、r可以直接测量，那么，我们可以用装置来测量比荷。如果再已知带电粒子的电荷量q，就可算出它的质量。

质子数相同而质量数不同的原子互称为同位素。在上图中，如果容器A中含有电荷量相同而质量有微小差别的粒子，根据例题中的结果可知，它们进入磁场后将沿着不同的半径做圆周运动，打到照相底片不同的地方，在底片上形成若干谱线状的细条，叫质谱线。每一条对应于一定的质量，从谱线的位置可以知道圆周的半径r，如果再已知带电粒子的电荷量q，就可算出它的质量。这种仪器叫做质谱议。例题2中的图就是质谱仪的原理示意图。

例题：质子和一价钠离子分别垂直进入同一匀强磁场中做匀速圆周运动，如果它们的圆运动半径恰好相等，这说明它们在刚进入磁场时(　 B　 )

A．速率相等　　　　　　　　　　　　 B．动量大小相等　　　　

C．动能相等　　　　　　　　　　　　 D．质量相等

问题讨论：带电粒子在磁场和电场中受力有什么区别呢？

①电场对静止或运动的带电粒子都有电场力的作用，磁场只对运动的带电粒子有磁场力(洛伦兹力)的作用(条件是v与B不平行)。

②电场力跟电场强度E的方向相同(正电荷)或相反(负电荷)，洛伦兹力跟磁感应强度B的方向垂直。

③电场力不受粒子运动速度的影响，洛伦兹力则与粒子运动速度有关。

13、带电粒子在磁场中的偏转

质量为m，电荷量为q的粒子，以初速度v₀垂直进入磁感应强度为B、宽度为L的匀强磁场区域，如图所示。

(1)带电粒子的运动轨迹及运动性质

作匀速圆周运动；轨迹为圆周的一部分。

(2)带电粒子运动的轨道半径

R＝＝

(3)带电粒子离开磁场电的速率

v＝v₀

(4)带电粒子离开磁场时的偏转角θ

sinθ＝＝

(5)带电粒子在磁场中的运动时间t

t＝＝　　 (θ弧度为单位)

(6)带电粒子离开磁场时偏转的侧位移

y＝R－＝R(1－cosθ)

12、轨道半径和周期

(1)轨道半径公式：由qvB＝m可得

r＝

上式告诉我们，在匀强磁场中做匀速园周运动的带电粒子，它的轨道半径跟粒子的运动速率成正比。运动的速度越大，轨道的半径也越大。

(2)周期公式

将半径r代入周期公式T＝中，得到

T＝

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期跟轨道半径和运动速率无关。

(3)频率公式：

(4)角频率(角速度)公式：

例题：、、它们以下列情况垂直进入同一匀强磁场，求轨道半径之比。

①具有相同速度；

②具有相同动量；

③具有相同动能。

解答：依据qvB＝m，得r＝

①v、B相同，所以r∝，所以r₁∶r₂∶r₃＝1∶2∶2

②因为mv、B相同，所以r∝，r₁∶r₂∶r₃＝2∶2∶1

③mv²相同，v∝，B相同，所以r∝，所以r₁∶r₂∶r₃＝1∶∶1。

例题：如图所示，一质量为m，电荷量为q的粒子从容器A下方小孔S₁飘入电势差为U的加速电场。然后让粒子垂直进入磁感应强度为B的磁场中做匀速园周运动，最后打到照相底片D上，如图所示。求

①粒子进入磁场时的速率；

②粒子在磁场中运动的轨道半径。

解答：①粒子在S₁区做初速度为零的匀加速直线运动。在S₂区做匀速直线运动，在S₃区做匀速圆周运动。

由动能定理可知

mv²＝qU

由此可解出

v＝

②粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为

r＝＝

11、带电粒子在匀强磁场中的运动

(1)带电粒子的运动方向与磁场方向平行

当带电粒子的运动方向与磁场方向平行时，粒子不受洛伦兹力。所以，此时粒子做匀速直线运动。

(2)带电粒子的运动方向与磁场方向垂直

①运动轨迹

垂直射入匀强磁场中的带电粒子，在洛伦兹力F＝qvB的作用下，将会偏离的运动方向。粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。

②带电粒子的受力及运动分析

洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，提供电子做匀速园周运动的向心力。

　(3)带电粒子的运动方向与磁场方向成θ角

粒子在垂直于磁场方向作匀速圆周运动，在磁场方向作匀速直线运动。叠加后粒子作等距螺旋线运动。

5、宇宙射线：运动电荷在磁场中受到洛伦兹力的作用，运动方向会发生偏转，这一点对于地球上的生命来说有十分重要的意义.从太阳或其他星体上，时刻都有大量的高能粒子流放出，称为宇宙射线，这些高能粒子流，如果都到达地球，将对地球上的生物带来危害.庆幸的是，地球周围存在地磁场，地磁场改变宇宙射线中带电粒子的运动方向，对宇宙射线起了一定的阻挡作用。

宇宙射线是穿透力极强的辐射线，它们来自宇宙空间，从各个方向射向地球，20世纪初，我们想要获得一个不受辐射影响的实验环境，总是不能如愿，即使深入矿井内部，仍然摆脱不开宇宙射线穿透性辐射的干扰，1912年，奥地利物理学家海斯乘气球升空去探寻这些辐射的来源，他发现，在气球上升过程中，辐射不是减弱而是增强了，后来又发现，两极地区的辐射更为强大，说明它似乎受地球磁场的影响，表明它含有带电粒子(如质子)，宇宙射线中的带电粒子在穿越地磁场过程中，受到地磁场对它们的洛伦兹力的作用，运动方向会发生偏转，对宇宙射线有一定的阻挡作用，大大减弱了到达地球表面的宇宙射线。

例题：如图所示，一个带正电q的小带电体处于垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B，若小带电体的质量为m，为了使它对水平绝缘面正好无压力，应该(　 )

A．使B的数值增大

B．使磁场以速率 v＝，向上移动

C．使磁场以速率v＝，向右移动

D．使磁场以速率v＝，向左移动

解析：为使小球对平面无压力，则应使它受到的洛伦兹力刚好平衡重力，磁场不动而只增大B，静止电荷在磁场里不受洛伦兹力， A不可能；磁场向上移动相当于电荷向下运动，受洛伦兹力向右，也不可能平衡重力，故B、C也不对；磁场以V向左移动，等同于电荷以速率v向右运动，此时洛伦兹力向上。当 qvB＝mg时，带电体对绝缘水平面无压力，则v＝，选项 D正确。

关于带电小球在匀强磁场中的运动

例题： 单摆摆长L，摆球质量为m，带有电荷+q，在垂直于纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场中摆动，当其向左、向右通过最低点时，线上拉力大小是否相等？

解析：摆球所带电荷等效于一个点电荷，它在磁场中摆动时受到重力mg，线的拉力F与洛伦兹力 ，由于只有重力做功，及机械能守恒，所以摆球向左、向右通过最低点时的速度大小是相同的，设为V，向在通过最低点时洛仑兹力 竖直向下，根据牛顿第二定律，如图有

故有

当向右通过最低点时，洛伦兹力 的竖直向上，而大小仍为qvB，同理可得

显然F₁＞F₂

4、洛伦兹力的特点

(1)运动的电荷才在可能受到洛伦兹力，静止的电荷在磁场中不受洛伦兹力。

(2)洛仑兹力的大小和方向都与带电粒子运动状态有关。

(3)洛仑兹力对运动电荷不做功，不会改变电荷运动的速率。

洛伦兹力的方向垂直于v和B组成的平面，即洛伦兹力垂直于速度方向，因此，洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，所以洛伦兹力对电荷不做功。

3、洛伦兹力的大小

(1)洛伦兹力的推导

若有一段长度为L的通电导线，横截面积为S，单位体积中含有的自由电荷数为n，每个自由电荷的电荷量为q，定向移动的平均速率为v，将这段导线垂直于磁场方向放入磁感应强度为B的匀强磁场中。

这段导体所受的安培力为F_安＝BIL

电流强度I的微观表达式是I＝nqSv

这段导体中含有的电荷数为nLS

每个自由电荷所受的洛伦兹力大小为F＝＝＝＝qvB

(2)洛伦兹力公式：F＝qvB

公式中各量的单位：F为N，q为C，v为m/s，B为T。

(3)适用条件

电荷的运动方向与磁场方向垂直，即v⊥B。

若v与B方向成某一角度θ时，洛沦兹力的分式为：F＝qvBsinθ。

说明：①θ角为电荷运动方向和磁场方向的夹角；

②θ＝90°时F＝qvB；θ＝0°时F＝0。

③因为B为矢量，Bsinθ为B在垂直于v方向上的分量；Bcosθ为B沿v方向上的分量。

④因为v为矢量：F＝qvBsinθ可写成F＝qBvsinθ。vsinθ理解为v在垂直于B方向上的分量。

例题：电子的速率v＝3×10⁶ m/s，垂直射入B＝0.10 T的匀强磁场中，它受到的洛伦兹力是多大？

F＝qvB＝1.60×10^－19×3×10⁶×0.10N＝4.8×10^－14 N。

例题：来自宇宙的质子流，以与地球表面垂直的方向射向赤道上空的某一点，则这些质子在进入地球周围的空间时，将(　　)

A．竖直向下沿直线射向地面　　　　　 B．相对于预定地面向东偏转

C．相对于预定点稍向西偏转　　　　　 D．相对于预定点稍向北偏转

分析：B项正确。地球表面地磁场方向由南向北，质子是氢原子核带正电，根据左手定则可判定，质子自赤道上空竖直下落过程中受洛伦兹力方向向东。

例题：电视机显像管的偏转线圈示意图如右，即时电流方向如图所示。该时刻由里向外射出的电子流将向哪个方向偏转？

解：画出偏转线圈内侧的电流，是左半线圈靠电子流的一侧为向里，右半线圈靠电子流的一侧为向外。电子流的等效电流方向是向里的，根据“同向电流互相吸引，反向电流互相排斥”，可判定电子流向左偏转。(本题用其它方法判断也行，但不如这个方法简洁)。