6、匀速圆周运动的特点：

⑴匀速圆周运动的定义：做圆周运动的物体在相等的时间内通过的弧长相等。

⑵匀速圆周运动的轨迹：是圆，且任意相等的时间内半径转过的角度相等。

⑶匀速圆周运动的性质：①“匀速”指的是“匀速率”，即速度的大小不变但速度的方向时刻改变。

　　　　　　　　　　　 ②加速度大小不变，但加速度的方向时刻改变，所以是变加速曲线运动。

5、平抛运动

⑴平抛运动定义：水平抛出的物体，只在重力作用下的运动叫做平抛运动

⑵平抛运动的特点：

①只受重力作用，且有一水平初速度。

②水平方向作匀速直线运动(加速度为零)，竖直方向作自由落体运动(加速度为g)

③平抛运动是匀变速曲线运动，它的轨迹是抛物线

⑶平抛运动的处理方法：

①水平方向：速度为v₀的匀速直线运动，，，

②竖直方向：自由落体运动，，，　O　　　　　　X₀　　X

只考虑竖直方向上，，　　 　　　　　　S　　　　V₀

③任意时刻的速度：　　　　　　　　　　　　V_y　　　　 V

，　θ为v与v₀间的夹角。　　　Y

④任意时刻的位移：

　　　　　，α为s与v₀间的夹角。

⑤平抛物体运动中的速度变化

　水平方向分速度保持v_x=v₀。竖直方向，加速度恒为g，速度v_y=gt，从抛出点起，

每隔Δt时间的速度的矢量关系如图所示，这一矢量关系有两个特点：

a、任意时刻的速度水平分量均等于初速度v₀

b、任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均竖直向下，且Δv＝Δv_y=gΔt

注意：运动学公式只适用于直线运动，因此曲线运动要分解为两个直线运动后才能应用运动学公式。

例题：如图所示，以9.8米/秒的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30°的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间是

　　 A．秒　　　　 B．秒

　　 C．秒　　　　 D．2秒

　　 解析：平抛运动可以认为是水平匀速和自由落体运动的合运动。飞行时间与初速无关，它可以从飞行高度或落地竖直分速度的信息中取得，本题可以使用竖直分速度这一信息。把垂直撞在斜面的速度分解为水平分速度和竖直分速度，解之得秒。正确选项C。

　　 例题：宇航员站在一星球表面的某高处，沿水平方向抛出一个小球，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为，如图所示。已知小球飞行时间为t，且两落地点在同一水平面上。求该星球表面的重力加速度的数值。

　　 解析：本题是近几年来的新题型，它的特色是给出了抛出点与落地点间的距离这一信息而没有直接给出，飞行的高度或水平射程。我们只要把已知的信息与飞行高度或水平射程建立联系，就又把这类习题改成了传统题，即把未知转化为已知。

　　 设抛出点高度为h，初速度为v，星球表面重力加速度为g。

　　 由题意可知：。

　　 解之得：

　　 答案：该星球表面重力加速度数值为。

　　 如果本题再已知该星球半径为R，万有引力常数为G，还可以求该星球的质量M，读者可以试一试，答案为。

例题：如图所示，一个同学做平抛实验时，只在纸上记下过起点的纵坐标y方向，但未记录平抛运动的起点，并描下了平抛运动的一段轨迹，在轨迹上取A、B两点，用刻度尺分别测量出它们到y轴的距离x₁、x₂以及AB的竖直距离h，则小球平抛运动的初速度　　　　　　　　　 。

　　 解析：画出平抛运动由抛出点开始的轨迹如图所示。用平抛运动是水平匀速和自由落体合运动的知识，把参量还原到抛出点去考虑。又转化成了平抛的基本题。

　　 设从抛出点到A、B的竖直高度分别为H_A和H_B。

　　 由题意可知：

　　 再设平抛到A、B的时间为t_A和t_B，。

　 答案：

5、小船渡河的四个极值问题

渡河问题，是运动合成与分解的典型模型，这里介绍四个极值问题及其应用

设船对水的速度为V₁(即船在静水的速度)，水的速度为V₂(即水对河岸的速度)，河的两岸平行，宽度为L

⑴当船头垂直河岸时，渡河时间最短：

⑵当V₁＞V₂，合速度方向垂直河岸时，渡河位移最小：s=L

⑶当V₁<V₂，V₁垂直于合速度V的方向时，被冲至下游的距离最小，位移也最小:

⑷船沿指向下游的固定航线渡河，当船头与船的合速度垂直，即V₁⊥V_w合时，船相对水的速度最小，且等于V_水垂直于航线的分量。

4、绳拉物体的速度分解问题：

原理：物体运动的速度v为合速度，这个速度在沿绳子方向的分速度v₁就是绳子拉长或缩短的速度，物体速度v的另一个分速度v_分就是绳子的摆动速度，它一定和v₁垂直总之一句话：绳端速度总沿着绳子方向和垂直于绳子方向分解(可用微元法证明)

3、运动的合成和分解　 速度的合成和分解

⑴合运动和分运动：如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就叫做那几个运动的合运动；那几个运动叫做这个实际运动的分运动

　⑵合运动与分运动的关系：

①等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动规律有完全相同的效果

②独立性：某个方向上的运动不会因为其它方向上是否有运动而影响自己的运动性质。③运动独立性原理(叠加原理)：一物体可同时参与几种不同的运动，在研究问题时可以把各分运动都看作互相独立进行，它们互不影响。而一个物体的运动可以看成由几个各自独立进行的运动的叠加而成

④等时性：合运动通过合位移所需的时间和对应的每个分运动通过分位移的时间相等。即各分运动总是同时开始，同时结束

⑶运动合成分解：

①运动的合成和分解：已知分运动求合运动叫运动的合成，已知合运动求分运动叫运动的分解

②运动的合成和分解的运算法则：是指物体运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解

a、合运动的位移等于二分运动位移的矢量和，符合平行四边形法则

b、合运动的速度等于二分运动速度的矢量和，符合平行四边形法则

c、合运动和分运动具有等时性

⑷当两直线运动的合速度的方向和合加速度的方向重合时，合运动为直线运动

⑸曲线运动可分解为两个方向上的直线运动，分别研究两方向上的受力和运动规律

2、物体做曲线运动的条件：

⑴曲线运动的物体所受的合外力不为零，合外力产生加速度，使速度方向(大小)发生变化

⑵曲线运动的条件：物体所受的合外力F与物体速度方向不在同一条直线上

⑶力决定了给定物体的加速度，力与速度的方向关系决定了物体运动的轨迹

F(或a)跟v在一直线上→直线运动：a恒定→匀变速直线运动；

　　　　　　　　　 a变化→变加速直线运动。

F(或a)跟v不在一直线上→直线运动：a恒定→匀变速曲线运动；

　　　　　　　　　 a变化→变加速曲线运动

⑷根据质点运动轨迹大致判断受力方向：做曲线运动的物体所受的合外力必指向运动轨迹的内侧，也就是运动轨迹必夹在速度方向与合外力方向之间。

⑸常见运动的类型有：

①a=0：匀速直线运动或静止。

②a恒定：性质为匀变速运动，分为：①^‘ v、a同向，匀加速直线运动；②^、v、a反向，匀减速直线运动；③^’v、a成角度，匀变速曲线运动(轨迹在v、a之间，和速度v的方向相切，方向逐渐向a的方向接近，但不可能达到。)

③a变化：性质为变加速运动。如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化。

例题：如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时，突然使它所受力反向，大小不变，即由F变为－F。在此力作用下，物体以后运动情况，下列说法正确的是

　　　 A．物体不可能沿曲线Ba运动；

　　　 B．物体不可能沿直线Bb运动；

　　　 C．物体不可能沿曲线Bc运动；

　　　 D．物体不可能沿原曲线由B返回A。

　　　 解析：因为在曲线运动中，某点的速度方向是轨迹上该点的切线方向，如图所示，在恒力作用下AB为抛物线，由其形状可以画出v_A方向和F方向。同样，在B点可以做出v_B和－F方向。由于v_B和－F不在一条直线上，所以以后运动轨迹不可能是直线。又根据运动合成的知识，物体应该沿BC轨道运动。即物体不会沿Ba运动，也不会沿原曲线返回。

　　　 因此，本题应选A、B、D。

　　　 掌握好运动和力的关系以及物体的运动轨迹形状由什么决定是解好本题关键。

　　　 答案：A、B、D。

1、曲线运动：

　⑴曲线运动定义：曲线运动是一种轨迹是曲线的运动，其速度方向随时间不断变化

　⑵曲线运动中质点的瞬时速度方向：就是曲线的切线方向

　⑶曲线运动是一种变速运动，因为物体速度方向不断变化，所以曲线运动的物体总有加速度

　 [注意]曲线运动一定是变速运动，一定具有加速度；但变速运动或具有加速度的运动不一定是曲线运动

⑷两种常见的曲线运动：平抛运动和匀速圆周运动

4．带电粒子在复合场中无约束情况下的运动性质

(1)当带电粒子所受合外力为零时，将做匀速直线运动或处于静止状态．合外力恒定且与初速同向时做匀变速直线运动，常见的情况有：

①洛伦兹力为零(即v∥B)，重力与电场力平衡，做匀速直线运动；或重力与电场力的合力恒定，做匀变速运动．

②洛伦兹力F与重力和电场力的合力平衡，做匀速直线运动．

(2)带电粒子所受合外力做向心力，带电粒子做匀速圆周运动时．由于通常情况下，重力和电场力为恒力，故不能充当向心力，所以一般情况下是重力恰好与电场力相平衡，洛伦兹力是以上力的合力．

例题1：如图所示，光滑导轨与水平面成α角，导轨宽L。匀强磁场磁感应强度为B。金属杆长也为L ，质量为m，水平放在导轨上。当回路总电流为I₁时，金属杆正好能静止。求：⑴B至少多大？这时B的方向如何？⑵若保持B的大小不变而将B的方向改为竖直向上，应把回路总电流I₂调到多大才能使金属杆保持静止？

解：画出金属杆的截面图。由三角形定则可知，只有当安培力方向沿导轨平面向上时安培力才最小，B也最小。根据左手定则，这时B应垂直于导轨平面向上，大小满足：BI₁L=mgsinα， B=mgsinα/I₁L。

当B的方向改为竖直向上时，这时安培力的方向变为水平向右，沿导轨方向合力为零，得BI₂Lcosα=mgsinα，I₂=I₁/cosα。(在解这类题时必须画出截面图，只有在截面图上才能正确表示各力的准确方向，从而弄清各矢量方向间的关系)。

例题2：如图所示，质量为m的铜棒搭在U形导线框右端，棒长和框宽均为L，磁感应强度为B的匀强磁场方向竖直向下。电键闭合后，在磁场力作用下铜棒被平抛出去，下落h后落在水平面上，水平位移为s。求闭合电键后通过铜棒的电荷量Q。

解：闭合电键后的极短时间内，铜棒受安培力向右的冲量FΔt=mv₀而被平抛出去，其中F=BIL，而瞬时电流和时间的乘积等于电荷量Q=IžΔt，由平抛规律可算铜棒离开导线框时的初速度，最终可得。

例题3：磁流体发电机原理图如右。等离子体高速从左向右喷射，两极板间有如图方向的匀强磁场。该发电机哪个极板为正极？两板间最大电压为多少？

解：由左手定则，正、负离子受的洛伦兹力分别向上、向下。所以上极板为正。正、负极板间会产生电场。当刚进入的正负离子受的洛伦兹力与电场力等值反向时，达到最大电压：U=Bdv。当外电路断开时，这也就是电动势E。当外电路接通时，极板上的电荷量减小，板间场强减小，洛伦兹力将大于电场力，进入的正负离子又将发生偏转。这时电动势仍是E=Bdv，但路端电压将小于Bdv。

在定性分析时特别需要注意的是：

　　 ⑴正负离子速度方向相同时，在同一磁场中受洛伦兹力方向相反。

　　 ⑵外电路接通时，电路中有电流，洛伦兹力大于电场力，两板间电压将小于Bdv，但电动势不变(和所有电源一样，电动势是电源本身的性质。)

　　 ⑶注意在带电粒子偏转聚集在极板上以后新产生的电场的分析。在外电路断开时最终将达到平衡态。

例题4：半导体靠自由电子(带负电)和空穴(相当于带正电)导电，分为p型和n型两种。p型半导体中空穴为多数载流子；n型半导体中自由电子为多数载流子。用以下实验可以判定一块半导体材料是p型还是n型：将材料放在匀强磁场中，通以图示方向的电流I，用电压表比较上下两个表面的电势高低，若上极板电势高，就是p型半导体；若下极板电势高，就是n型半导体。试分析原因。

解：分别判定空穴和自由电子所受的洛伦兹力的方向，由于四指指电流方向，都向右，所以洛伦兹力方向都向上，它们都将向上偏转。p型半导体中空穴多，上极板的电势高；n型半导体中自由电子多，上极板电势低。

注意：当电流方向相同时，正、负离子在同一个磁场中的所受的洛伦兹力方向相同，所以偏转方向相同。

例题5：如图直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场(电子质量为m，电荷为e)，它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？

解：正负电子的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半径，由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两个射出点相距2r，由图还看出经历时间相差2T/3。答案为射出点相距，时间差为。关键是找圆心、找半径和用对称。

例题6：一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P(a，0)点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。

解：由射入、射出点的半径可找到圆心O^/，并得出半径为；射出点坐标为(0，)。

例题7： 某带电粒子从图中速度选择器左端由中点O以速度v₀向右射去，从右端中心a下方的b点以速度v₁射出；若增大磁感应强度B，该粒子将打到a点上方的c点，且有ac=ab，则该粒子带___电；第二次射出时的速度为­_____。

解：B增大后向上偏，说明洛伦兹力向上，所以为带正电。由于洛伦兹力总不做功，所以两次都是只有电场力做功，第一次为正功，第二次为负功，但功的绝对值相同。

例题8：如图所示，一个带电粒子两次以同样的垂直于场线的初速度v₀分别穿越匀强电场区和匀强磁场区， 场区的宽度均为L偏转角度均为α，求E∶B

解：分别利用带电粒子的偏角公式。在电场中偏转：

，在磁场中偏转：，由以上两式可得。可以证明：当偏转角相同时，侧移必然不同(电场中侧移较大)；当侧移相同时，偏转角必然不同(磁场中偏转角较大)。

例题9：一个带电微粒在图示的正交匀强电场和匀强磁场中在竖直面内做匀速圆周运动。则该带电微粒必然带_____，旋转方向为_____。若已知圆半径为r，电场强度为E磁感应强度为B，则线速度为_____。

解：因为必须有电场力与重力平衡，所以必为负电；由左手定则得逆时针转动；再由

例题10：质量为m带电量为q的小球套在竖直放置的绝缘杆上，球与杆间的动摩擦因数为μ。匀强电场和匀强磁场的方向如图所示，电场强度为E，磁感应强度为B。小球由静止释放后沿杆下滑。设杆足够长，电场和磁场也足够大， 求运动过程中小球的最大加速度和最大速度。

解：不妨假设设小球带正电(带负电时电场力和洛伦兹力都将反向，结论相同)。刚释放时小球受重力、电场力、弹力、摩擦力作用，向下加速；开始运动后又受到洛伦兹力作用，弹力、摩擦力开始减小；当洛伦兹力等于电场力时加速度最大为g。随着v的增大，洛伦兹力大于电场力，弹力方向变为向右，且不断增大，摩擦力随着增大，加速度减小，当摩擦力和重力大小相等时，小球速度达到最大。

若将磁场的方向反向，而其他因素都不变，则开始运动后洛伦兹力向右，弹力、摩擦力不断增大，加速度减小。所以开始的加速度最大为；摩擦力等于重力时速度最大，为。

　(3)当带电粒子受的合力大小、方向均不断变化时，粒子做非匀变速曲线运动

3．带电粒子在有界磁场中运动的极值问题

(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．

(2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．

2．在研究带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，关键把握“一找圆心，二找半径，三找周期或时间t″的规律．

(1)圆心的确定：因洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子轨迹中的任意两点(一般是射入和射出磁场的两点)的F的方向，沿两个洛伦兹力F画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，找出圆心位置．

(2)半径的确定和计算

利用平面几何关系或半径公式，求出该圆的可能半径(或圆心角)，并注意以下两个重要的几何特点：

①粒子速度的偏向角φ甲等于圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角θ(弦切角)的2倍，如图所示，即．

②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ +θ′＝180°．

(3)粒子在磁场中运动时间t的确定：利用圆心角口与弦切角日的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，由公式可求出粒子在磁场中运动的时间t．

(4)注意圆周运动中的有关对称规律

如从某一直线边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出．