3. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则的值是(　　 )

A.2　　　　　　　 B.　　　　　　　　 C.3　　　　　　　 D.

2.若不等式对一切恒成立，则的取值范围是　 (　　　 )

A.　　　　 B.　　　　　　　 C.　　 　　 D.

1．已知函数，若，则的所有可能值为(　　 )

A.1　　　　　　　 B.1或　　　　　 C.　　　　　 D. 1或

9．(2003上海)如下图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22 m，要求通行车辆限高4．5 m，隧道全长2．5 km，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．

(1)若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽l是多少？

(2)若最大拱高h不小于6 m，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？

(半个椭圆的面积公式为S=lh，柱体体积为底面积乘以高．本题结果均精确到0．1 m)

(1)解：如下图建立直角坐标系，则点P(11，4．5)，

椭圆方程为+=1．将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得a=，此时l=2a=≈33．3．因此隧道的拱宽约为33．3 m．

(2)解法一：由椭圆方程+=1，得+=1．

因为+≥，即ab≥99，且l=2a，h=b，所以S=lh=≥．

当S取最小值时，有==，

得a=11，b=．

此时l=2a=22≈31．1，h=b≈6．4．

故当拱高约为6．4 m、拱宽约为31．1 m时，土方工程量最小．

解法二：由椭圆方程+=1，

得+=1．

于是b²=·．

a²b²=(a²－121++242)≥(2+242)=81×121，

即ab≥99，当S取最小值时，

有a²－121=．

得a=11，b=，以下同解法一．

10 (2006四川)已知两定点满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y＝kx－1与曲线E交于A、B两点　 如果且曲线E上存在点C，使求　

解：由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，

且，易知

　　　 故曲线的方程为

　 设，由题意建立方程组

　消去，得

又已知直线与双曲线左支交于两点，有

　　　 解得

又∵

依题意得 　　整理后得

∴或　 但　 ∴

故直线的方程为

设，由已知，得

∴，

又，

∴点

将点的坐标代入曲线的方程，得

得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意

∴，点的坐标为

到的距离为　　

∴的面积

[探索题](2002春全国)已知某椭圆的焦点是F₁(－4，0)、F₂(4，0)，过点F₂，并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且｜F₁B｜+｜F₂B｜＝10．椭圆上不同的两点A(x₁，y₁)、C(x₂，y₂)满足条件：｜F₂A｜、｜F₂B｜、｜F₂C｜成等差数列．

(1)求该椭圆的方程；

(2)求弦AC中点的横坐标；

(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y＝kx+m，求m的取值范围．

(1)解：由椭圆定义及条件知

2a＝｜F₁B｜+｜F₂B｜＝10，得a＝5．又c＝4，

所以b＝＝3．

故椭圆方程为+＝1．

(2)解：由点B(4，y_B)在椭圆上，得｜F₂B｜＝｜y_B｜＝．

方法一：因为椭圆右准线方程为x＝，离心率为．

根据椭圆定义，有｜F₂A｜＝(－x₁)，｜F₂C｜＝(－x₂)．

由｜F₂A｜、｜F₂B｜、｜F₂C｜成等差数列，得

(－x₁)+(－x₂)＝2×．

由此得出x₁+x₂＝8．

设弦AC的中点为P(x₀，y₀)，

则x₀＝＝＝4．

方法二：由｜F₂A｜、｜F₂B｜、｜F₂C｜成等差数列，得+＝2×，　　　　　　　　 　　　　　　　 　 ①

由A(x₁，y₁)在椭圆+＝1上，得

y₁²＝(25－x₁²)，

所以

=

＝＝(25－4x₁)　　　　　　　　　　 　 ②

同理可得＝(25－4x₂)　　 　 ③

将②③代入①式，得

(25－4x₁)+(25－4x₂)＝．

所以x₁+x₂＝8．

设弦AC的中点为P(x₀，y₀)，

则x₀＝＝＝4．

(3)解法一：由A(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)在椭圆上，得

9x₁²+25y₁²＝9×25，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ④

9x₂²+25y₂²＝9×25．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ⑤

由④－⑤得9(x₁²－x₂²)+25(y₁²－y₂²)＝0，

即9()+25()()＝0(x₁≠x₂)．

将＝x₀=4，＝y₀，＝－(k≠0)代入上式，得

9×4+25y₀(－)＝0(k≠0)．

由上式得k＝y₀(当k＝0时也成立)．

由点P(4，y₀)在弦AC的垂直平分线上，得

y₀＝4k+m，

所以m＝y₀－4k＝y₀－y₀＝－y₀．

由P(4，y₀)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部，得－＜y₀＜．

所以－＜m＜．

评述：在推导过程中，未写明“x₁≠x₂”“k≠0”“k＝0时也成立”及把结论写为“－≤m≤”也可以．

解法二：因为弦AC的中点为P(4，y₀)，

所以直线AC的方程为

y－y₀＝－(x－4)(k≠0)．　 　⑥

将⑥代入椭圆方程+＝1，得

(9k²+25)x²－50(ky₀+4)x+25(ky₀+4)²－25×9k²＝0．

所以x₁+x₂＝＝8．

解得k＝y₀(当k＝0时也成立)．

以下步骤同解法一．

8．(2005上海文)已知抛物线y²=2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．过A作AB垂直于轴，垂足为B，OB的中点为M．

(1)求抛物线方程；

(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；

(3)以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m．0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系．

解：(1)抛物线y²=2px的准线为

∴抛物线方程为y²= 4x．

(2)∵点A的坐标是(4，4)， 由题意得B(0，4)，M(0，2)，

又∵F(1，0)， ∴

则FA的方程为y=(x－1)，MN的方程为

解方程组

(3)由题意得，圆M的圆心是点(0，2)，半径为2．

当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离，

当m≠4时，直线AK的方程为　 即为

圆心M(0，2)到直线AK的距离，令

时，直线AK与圆M相离；

　 当m=1时，直线AK与圆M相切；

　 当时，直线AK与圆M相交．

7．已知椭圆的焦点是F₁(－1，0),F₂(1，0),P为椭圆上的一点,且|F₁F₂|是|PF₁|和|PF₂|的等差中项。(1)求椭圆方程； (2)若点P在第三象限，且∠P F₁F₂=120⁰，求tan∠F₁PF₂。

解：(1)由题设2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，c=1。∴2a=4，∴b=。∴椭圆方程为。

(2)设∠F₁PF₂=θ,则∠PF₂ F₁=60⁰－θ,由正弦定理并结合等比定理可得到

,

∴化简可得,∴,

从而可求得tan∠F₁PF₂=。

思维点拨：解与△P F₁F₂有关的问题(P为椭圆上的点)常用正弦定理或余弦定理，并且结合|PF₁|+|PF₂|=2a来求解。

6．(2005江西)以下同个关于圆锥曲线的命题中

①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；

②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；

③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④双曲线有相同的焦点．

其中真命题的序号为　　　　　　　　 (写出所有真命题的序号)

简答提示：1－4．DAAD；　5．；　6．③④．

[解答题]

5．(2005江苏卷)点P(-3，1)在椭圆的左准线上，过点P且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为_______

4．(2006湖北)设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若,且=1,则P点的轨迹方程是(　)

A． 3x²+y²=1 (x>0,y>0)　　　　　 B．3x²-y²＝1(x>0, y>0)

C．x²-3y²=1(x>0,y>0)　　　　　　 D． x²+3y²=1(x>0,y>0)

[填空题]

3．(2006辽宁)曲线与曲线的　 (　)

A．焦距相等　　　　　　　　　　　　　　 B．离心率相等

C．焦点相同　　　　　　　　　　　　　　 D．准线相同