18．(本小题满分15分)

已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、

C作⊙P，其中圆心P的坐标为(m，n)．

(Ⅰ)当m+n>0时，求椭圆离心率的范围；

(Ⅱ)直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．

解：(Ⅰ)设F、B、C的坐标分别为(－c，0)，(0，b)，(1，0)，则FC、BC的中垂线分别为

，．………………………………………………………………2分

联立方程组，解出……………………………………………………………4分

，即，即(1+b)(b－c)>0，

∴ b>c． ……………………………………………………………………………………6分

从而即有，∴．……………………………………………………7分

又，∴． …………………………………………………………………8分

(Ⅱ)直线AB与⊙P不能相切．…………………………………………………………………9分

由，＝． ………………………………………………10分

如果直线AB与⊙P相切，则·＝－1． ………………………………………12分

解出c＝0或2，与0＜c＜1矛盾，………………………………………………………14分

所以直线AB与⊙P不能相切． …………………………………………………………15分

评讲建议：

此题主要考查直线与直线、直线与圆以及椭圆的相关知识，要求学生理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点，从而大胆求出交点坐标，构造关于椭圆中a，b，c的齐次等式得离心率的范围．第二小题亦可以用平几的知识：圆的切割线定理，假设直线AB与⊙P相切，则有AB²＝AF×AC，易由椭圆中a，b，c的关系推出矛盾．

17．(本小题满分15分)

口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：

甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，

否则算乙赢．

(Ⅰ)求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率；

(Ⅱ)这种游戏规则公平吗?试说明理由．

解：(I)设“甲胜且两数字之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为

(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，共5个．……………………2分

又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25(个)等可能的结果， ……………………4分

所以． ………………………………………………………………………6分

答：编号的和为6的概率为．…………………………………………………………………7分

　　 (Ⅱ)这种游戏规则不公平．……………………………………………………………………9分

设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C， ……………………………………………10分

则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：

(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，

(4，2) ，(4，4)，(5，1) ，(5，3)，(5，5)．

所以甲胜的概率P(B)＝，从而乙胜的概率P(C)＝1－＝．…………14分

由于P(B)≠P(C)，所以这种游戏规则不公平． ………………………………15分

评讲建议：

　　 本题主要考查古典概率的计算及其相关知识，要求学生列举全面，书写规范．尤其注意此类问题的答题格式：设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答．

引申：连续玩此游戏三次，若以D表示甲至少赢一次的事件，E表示乙至少赢两次的事件，试问D与E是否为互斥事件?为什么?(D与E不是互斥事件．因为事件D与E可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意；亦可分别求P(D)、P(E)，由P(D)+ P(E)>1可得两者一互斥．)

16．(本小题满分14分)

直棱柱中，底面ABCD是直角梯形，

∠BAD＝∠ADC＝90°，．

(Ⅰ)求证：AC⊥平面BB₁C₁C；

(Ⅱ)在A₁B₁上是否存一点P，使得DP与平面BCB₁与

平面ACB₁都平行？证明你的结论．

证明：(Ⅰ) 直棱柱中，BB₁⊥平面ABCD，BB₁⊥AC． ………………2分

又∠BAD＝∠ADC＝90°，，

∴，∠CAB＝45°，∴， BC⊥AC．………………………………5分

又，平面BB₁C₁C， AC⊥平面BB₁C₁C．　 ………………7分

(Ⅱ)存在点P，P为A₁B₁的中点． ……………………………………………………………8分

证明：由P为A₁B₁的中点，有PB₁‖AB，且PB₁＝AB．……………………………………9分

又∵DC‖AB，DC＝AB，DC ∥PB₁，且DC＝ PB₁，

∴DC PB₁为平行四边形，从而CB₁∥DP．……………………………………………11分

又CB₁面ACB₁，DP 面ACB₁，DP‖面ACB₁．………………………………13分

同理，DP‖面BCB₁．……………………………………………………………………14分

评讲建议：

本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识，第一小题要引导学生挖掘直角梯形ABCD中BC⊥AC，第二小题，要求学生熟练掌握一个常用结论：若一直线与两相交平面相交，则这条直线一定与这两平面的交线平行；同时注意问题的逻辑要求和答题的规范性，这里只需要指出结论并验证其充分性即可，当然亦可以先探求结论，再证明之，这事实上证明了结论是充分且必要的．

变题：

求证：(1)A₁B⊥B₁D；(2)试在棱AB上确定一点E，使A₁E∥平面ACD₁，并说明理由．

15．(本小题满分14分)

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．

　(Ⅰ)求角A；

(Ⅱ)若m，n，试求|mn|的最小值．

解：(Ⅰ)，……………………………………………3分

即，

∴，∴． ………………………………………………5分

∵，∴．………………………………………………………………7分

(Ⅱ)mn ，

|mn|．…………10分

∵，∴，∴．

从而．……………………………………………………………12分

∴当＝1，即时，|mn|取得最小值．……………………13分

所以，|mn|．………………………………………………………………14分

评讲建议：

　　 本题主要考查解三角形和向量的运算等相关知识，要求学生涉及三角形中三角恒等变换时，要从化角或化边的角度入手，合理运用正弦定理或余弦定理进行化简变形；在第二小题中，要强调多元问题的消元意识，进而转化为函数的最值问题，注意定义域的确定对结论的影响，并指明取最值时变量的取值．

10．<　　 11．　　 12． 　　13．　　 14．

1．　 2．2　 3．0.03　 4．　 5．④　 　6．　 7．－8　 8．3 　9．－1

14．已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且，如果b＝m(mN*)，则这样的三角形共有　 ▲　 个(用m表示)．

说明：本题是推理和证明这一章的习题，考查合情推理能力．讲评时可改为c＝m再探究．本题也可以用线性规划知识求解．

填空题答案：

13．若不等式组 表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a的取值范围是 　▲ 　．

说明：线性规划要注意数形结合，要综合运用多方面的知识．特别要注意区域的边界．

12．有一根长为6cm，底面半径为0.5cm的圆柱型铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为　 ▲　 cm．

说明：本题是由课本例题改编的．关键是要把空间问题转化为平面问题．

11．过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，交准线于点C．若，

则直线AB的斜率为　 ▲　 ．

说明：涉及抛物线的焦点弦的时候，常用应用抛物线的定义．注意本题有两解．