17.(14分)如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形A₁ABB₁是菱形，四边形BCC₁B₁是矩形，AB⊥BC，CB=3，AB=4，∠A₁AB=60°.

(1)求证：平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁；

(2)求直线A₁C与平面BCC₁B₁所成角的正切值；

(3)求点C₁到平面A₁CB的距离.

(1)证明　 ∵四边形BCC₁B₁是矩形，∴BC⊥BB₁.

又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面A₁ABB₁.

∵BC平面CA₁B，∴平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁.

(2)解　 过A₁作A₁D⊥B₁B于D，连接DC，∵BC⊥平面A₁ABB₁，

∴BC⊥A₁D. ∵BC∩BB₁=B，

∴A₁D⊥平面BCC₁B₁，

故∠A₁CD为直线A₁C与平面BCC₁B₁所成的角.

在矩形BCC₁B₁中，DC=.

∵四边形A₁ABB₁是菱形，∠A₁AB=60°,

AB=4，∴A₁D=2，

∴tan∠A₁CD===.

(3)解　 ∵B₁C₁∥BC，∴B₁C₁∥平面A₁BC，

∴C₁到平面A₁BC的距离即为B₁到平面A₁BC的距离.

连接AB₁，AB₁与A₁B交于点O，

∵四边形A₁ABB₁是菱形，∴B₁O⊥A₁B.

∵平面CA₁B⊥平面A₁BB₁，∴B₁O⊥平面A₁BC.

∴B₁O即为C₁到平面A₁BC的距离.

∵B₁O=2，∴C₁到平面A₁BC的距离为2.

16.(14分)一个多面体的直观图和三视图(正视图、左视图、俯视图)如图所示，M、N分别为A₁B、B₁C₁的中点.求证：

(1)MN∥平面ACC₁A₁；

(2)MN⊥平面A₁BC.

证明　 由题意可知，这个几何体是直三棱柱，

且AC⊥BC，AC=BC=CC₁.

(1)连接AC₁，AB₁.

由直三棱柱的性质得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，

所以AA₁⊥A₁B₁，则四边形ABB₁A₁为矩形.

由矩形性质得AB₁过A₁B的中点M.

在△AB₁C₁中，由中位线性质得MN∥AC₁，

又AC₁平面ACC₁A₁，

MN平面ACC₁A₁，

所以MN∥平面ACC₁A₁.

(2)因为BC⊥平面ACC₁A₁，AC₁平面ACC₁A₁，

所以BC⊥AC₁.

在正方形ACC₁A₁中，A₁C⊥AC₁.

又因为BC∩A₁C=C，

所以AC₁⊥平面A₁BC.

由MN∥AC₁，得MN⊥平面A₁BC.

15.(2008·江苏，16)(14分)在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点，求证：

(1)直线EF∥平面ACD;

(2)平面EFC⊥平面BCD.

证明　 (1)∵E,F分别是AB,BD的中点,

∴EF是△ABD的中位线,∴EF∥AD.

∵EF平面ACD,AD平面ACD,

∴直线EF∥平面ACD.

(2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD.

∵CB=CD,F是BD的中点,

∴CF⊥BD.又EF∩CF=F,

∴BD⊥平面EFC.

∵BD平面BCD,

∴平面EFC⊥平面BCD.

14. 在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB₁=3a，D是A₁C₁的中点，点E在棱AA₁上，要使CE⊥平面B₁DE，则AE=　　　　　　 .　

答案　 a或2a

13.若l、m、n是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是　　　　　　　 (填序号).

①若∥,l,n，则l∥n

②若⊥，l,则l⊥

③若l⊥n,m⊥n,则l∥m

④若l⊥,l∥,则⊥

答案　 ④

12.设a,b,c是空间中互不重合的三条直线，

①若a∥b,b∥c,则a∥c;

②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;

③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；

④若a平面,b平面,则a,b一定是异面直线；

⑤若a,b与c成等角，则a∥b.

上述命题中正确的是　　　　　　 (只填序号).

答案　 ①

11.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角等于　　　　　 .

答案　

10.(2008·全国Ⅱ理，10)已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为　　　　　　 .　

答案　

9.在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,E、F分别为棱AA₁、BB₁的中点，G为棱

A₁B₁上的一点，且A₁G=(0≤≤1),则点G到平面D₁EF的距离为　　　　 .

答案　

8. 矩形ABCD的两边AB=3，AD=4，PA⊥平面ABCD，且PA=，则二面角A-BD-P的度数为　　　　　　 .　

答案　 30°