8、已知等差数列的前 n 项和为,若对于任意的自然数,都有则 = ▲
7、若不等式组 所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分,则k的值是 ▲
6、若函数在上为减函数,则实数的取值范围为 ▲
5、已知命题,命题,若命题 “”是真命题,则实数的取值范围是 ▲
4、若复数是纯虚数(为虚数单位),则实数=_______▲______.
3、设是满足的正数,则的最大值是 ▲ .
2、不等式的解集为 ▲
1、已知集合,若,则实数的取值范围是______▲_____.
2.复合函数单调性的判断
对于函数和,如果在区间上是具有单调性,当时,,且在区间上也具有单调性,则复合函数在区间具有单调性的规律见下表:
|
增 ↗ |
减 ↘ |
||
|
增 ↗ |
减 ↘ |
增 ↗ |
减 ↘ |
|
增 ↗ |
减 ↘ |
减 ↘ |
增 ↗ |
以上规律还可总结为:“同向得增,异向得减”或“同增异减”.
证明:①设,且
∵在上是增函数,
∴,且
∵在上是增函数,∴.
所以复合函数在区间上是增函数
②设,且,∵在上是增函数,
∴,且
∵在上是减函数,∴.
所以复合函数在区间上是减函数
③设,且,∵在上是减函数,
∴,且
∵在上是增函数,∴.
所以复合函数在区间上是减函数
④设,且,∵在上是减函数,
∴,且
∵在上是减函数,∴.
所以复合函数在区间上是增函数
例2.求函数的值域,并写出其单调区间
解:题设函数由和复合而成的复合函数,
函数的值域是,
在上的值域是.
故函数的值域是.
对于函数的单调性,不难知二次函数在区间上是减函数,在区间上是增函数;
二次函数区间上是减函数,在区间上是增函数
当时,,即,或.
当时,,即,.
因此,本题应在四个区间,,,上考虑
① 当时,,
而在上是增函数,在上是增函数,所以,函数在区间上是增函数
②当时,,
而在上是增函数,在上是减函数,
所以,函数在区间上是减函数
③当时,,
而在上是减函数,在上是减函数,
所以,函数在区间上是增函数
④当时,,
而在上是增函数,在上是减函数,所以,函数在区间上是减函数
综上所述,函数在区间、上是增函数;在区间、上是减函数
另外,本题给出的复合函数是偶函数,在讨论具有奇偶性的函数的单调性时,应注意应用其奇函数或偶函数的性质,以使解题过程简捷、清楚、具有条理性
1.函数单调性的证明
例1.判断并证明函数的单调性
证明:设则
∵ ∴ ,,
∴即 (注:关键的判断)
∴在R上是增函数.
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