8．已知双曲线的方程为, 直线通过其右焦点F₂，且与双曲线的右支交于A、B两点，将A、B与双曲线的左焦点F₁连结起来，求|F₁A|·|F₁B|的最小值

解：设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

A到双曲线的左准线x= ─= ─的距离d=|x₁+|=x₁+，

由双曲线的定义，=e=,

∴|AF₁|=(x₁+)=x₁+2,

同理，|BF₁|=x₂+2,

∴|F₁A|·|F₁B|=(x₁+2)(x₂+2)=x₁x₂+(x₁+x₂)+4　　 (1)

双曲线的右焦点为F₂(,0),

(1)当直线的斜率存在时设直线AB的方程为：y=k(x─)，

由消去y得　 (1─4k²)x²+8k²x─20k²─4=0,

∴x₁+x₂=,　 x₁x₂= ─,

代入(1)整理得

|F₁A|·|F₁B|=+4=+4

=+4=+

∴|F₁A|·|F₁B|>;

(2)当直线AB垂直于x轴时，容易算出|AF₂|=|BF₂|=,

∴|AF₁|=|BF₁|=2a+=(双曲线的第一定义), ∴|F₁A|·|F₁B|=

由(1), (2)得：当直线AB垂直于x轴时|F₁A|·|F₁B|　 取最大值

7． (2006江苏)已知三点P(5，2)、(－6，0)、(6，0)．

(Ⅰ)求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

(Ⅱ)设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。

解：(I)由题意，可设所求椭圆的标准方程为(a>b>0)，

其半焦距c=6 2=|PF₁|+|PF₂|=+=6

∴=3，b²=a²-c²=45-36=9

所以所求椭圆的标准方程为

(II)点P(5,2)、F₁(-6，0)、F₂(6，0)关于直线y=x的对称点分别为P´(2,5)、F₁´(0，-6)，F₂´(0，6)

设所求双曲线的标准方程为(a₁>0,b₁>0)．

由题意知，半焦距c₁=6，

2a₁=||P´F₁´|-|P´F₂´||=|-|=4．

∴a₁=2,b=c-a=36-20=16．

所以所求双曲线的标准方程为

6． ||PF₁|－|PF₂||=6，cos∠F₁PF₂=

== =0

∴∠F₁PF₂=90°

[解答题]

6．已知双曲线的方程是16x²－9y²=144,F₁和F₂是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF₁|·|PF₂|=32，求∠F₁PF₂的大小

简答提示：1－3．CDC； 4． ； 5． ；

5．(2005山东)设双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于P、两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率e=________．

4．(2005福建)已知F₁、F₂是双曲线的两焦点，以线段F₁F₂为边作正三角形MF₁F₂，若边MF₁的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是_____

3．　 (2005天津)设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( 　)

A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

[填空题]

2．(2005湖南)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为(O为原点)，则两条渐近线的夹角为(　 )

A．30º　　　　　 B．45º　　　　　　　　 C．60º　　　　　　　　 D．90º

1．(2005全国卷II)已知双曲线的焦点为F₁、F₂，点M在双曲线上且MF₁⊥x轴，则F₁到直线F₂M的距离为　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．

4．应擅于将几何关系与代数关系相互转化,把平面解析几何问题与向量、平面几何、三角函数、函数、导数、不等式等有机结合相互转化;养成整体处理的习惯。

同步练习　　　 8．2双曲线方程及性质

[选择题]