10．如图，设三棱锥S-ABC的三个侧棱与底面ABC所成的角都是60°,∠BAC=60°，且SA⊥BC．

(1)求证：S-ABC为正三棱锥；

(2)已知SA=a，求S-ABC的全面积．

(1)证明：正棱锥的定义中，底面是正多边形；顶点在底面上的射影是底面的中心，两个条件缺一不可．作三棱锥S-ABC的高SO，O为垂足，连结AO并延长交BC于D．

因为SA⊥BC，所以AD⊥BC．

又侧棱与底面所成的角都相等，从而O为△ABC的外心，OD为BC的垂直平分线，

所以AB=AC．

又∠BAC=60°，故△ABC为正三角形，且O为其中心．所以S－ABC为正三棱锥．

(2)解：只要求出正三棱锥S-ABC的侧高SD与底面边长，则问题易于解决．

在Rt△SAO中，由于SA=a，∠SAO=60°，所以SO=a，AO=a．

因O为重心，所以AD=AO=a，BC=2BD=2ADcot60°=a，OD=AD=a．

在Rt△SOD中，SD²=SO²+OD²=(a)²+(a)²=，则SD=a．

于是，(S_S－ABC)_全=·(a)²sin60°+3··a·a=a²．

考查棱柱、棱锥的侧面积及体积的计算方法．要求会用棱柱、棱锥的侧面积及体积公式求棱柱、棱锥的侧面积及体积,会运用“分解与组合”(即“割补法”)、“等积变形”等方法，使问题化繁为简，化难为简，化未知为已知．

求体积常见方法有：①直接法(公式法)；②分割法；③补形法．

9．已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱A₁A、CC₁的中点，求四棱锥C₁-B₁EDF的体积．

解法一：连结A₁C₁、B₁D₁交于O₁，过O₁作O₁H⊥B₁D于H，

∵EF∥A₁C₁，∴A₁C₁∥平面B₁EDF．

∴C₁到平面B₁EDF的距离就是A₁C₁到平面B₁EDF的距离．

∵平面B₁D₁D⊥平面B₁EDF，

∴O₁H⊥平面B₁EDF，即O₁H为棱锥的高．

∵△B₁O₁H∽△B₁DD₁，∴O₁H==a，

V=S·O₁H=··EF·B₁D·O₁H=··a·a·a=a³．

解法二：连结EF，设B₁到平面C₁EF的距离为h₁，D到平面C₁EF的距离为h₂，则h₁+h₂=B₁D₁=a，∴V=V+V=·S·(h₁+h₂)= a³．

解法三：V=V－V－V=a³．

8．长方体的表面积为32cm²，体积为8 cm²，长、宽、高成等比数列，则长方体所有棱之和为_____　 _____．32cm

7．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_______________。

6．两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有　　　　　　　　　　　 ( D　 )

A．1个　　　　　　　　　　 B．2个　 　　　　　　　　　 C．3个　　　　　　　　　　 D．无穷多个

5．已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H．设四面体EFGH的表面积为T，则等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 A　 )

A． 　　　　　　　　 　　　 B．　　　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 　　　 D．

4．如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为　　　　　　　　　 　　　　　　　　　( D　 )

A．　　　　 　　　　　 B．5　　　　 　　　　　　 C．6　　　　 　　　　　　　 D．

3．长方体的一条对角线与经过它的一端点的一个平面成30°角，与经过这个端点的另一个平面成45°角，若这条对角线长为2，则这个长方体的体积为　　　　　 (　 D　 )

A．　　　　 　　 　　　 B．　　　　　 　 　　　　　 C．2　　　　　　　 　 　　　　　 D．

2．棱锥体积为1，过它的高的两个三等分点分别作平行于底面的截面，把棱锥截成三部分，则中间部分的体积是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 C　 )

A．　　　　　　 　 B．　　　　　　 　 C．　 　　　　　 D．

1．底面边长为，斜高为2的正三棱锥的体积等于　　　　　　　　　　　 (　 A　 )

A．3　　　　　　　 　 B．9　　　　　　 　　 C．6　　 　　　　　　　 D．