5．已知等比数列的公比为正数，且，，则

　A．　 　 B．　　 　C． 　　　D．

4．若函数是函数的反函数，且，则

　 A．　　 B．　　 C． 　　　D．

3．已知平面向量a =(x，1)，b =(-x，x² )，则向量a+b

　 A．平行于x轴　　　　　 　B．平行于第一、三象限的角平分线

　 C．平行于y轴　　　　　　 D．平行于第二、四象限的角平分线

2．下列n的取值中，使iⁿ =1(i是虚数单位)的是

　A．n=2　 　　B．n=3　 　　C．n=4　 　　D．n=5

1．已知全集U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={}关系的韦恩(Venn)图是

22. (本小题满分14分)

设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.

(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

(2)已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;

(3)已知,设直线与圆C:(1<R<2)相切于A₁,且与轨迹E只有一个公共点B₁,当R为何值时,|A₁B₁|取得最大值?并求最大值.

解:(1)因为,,,

所以,　　 即.

当m=0时,方程表示两直线,方程为;

当时, 方程表示的是圆

当且时,方程表示的是椭圆;

当时,方程表示的是双曲线.

(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,

要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,

则使△=,

即,即,　　 　且

,

要使,　 需使,即,

所以,　 即且,　 即恒成立.

所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,

所以圆的半径为,, 所求的圆为.

当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.

综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.

(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1<R<2)相切于A₁, 由(2)知,　 即　　 ①,

因为与轨迹E只有一个公共点B₁,

由(2)知得,

即有唯一解

则△=,　　 即,　　 ②

由①②得,　 此时A,B重合为B₁(x₁,y₁)点,

由 中,所以,,

B₁(x₁,y₁)点在椭圆上,所以,所以,

在直角三角形OA₁B₁中,因为当且仅当时取等号,所以,即

当时|A₁B₁|取得最大值,最大值为1.

徐洪艳制作

21.(本小题满分12分)

已知函数,其中 　 　

(1)　　　 当满足什么条件时,取得极值?

(2)　　　 已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.

解:　 (1)由已知得,令,得,

要取得极值,方程必须有解,

所以△,即,　 此时方程的根为

,,

所以 　 　

当时,

所以在x ₁, x₂处分别取得极大值和极小值.

当时, 　 　

所以在x ₁, x₂处分别取得极大值和极小值.

综上,当满足时, 取得极值. 　 　

(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.

即恒成立,　 所以

设,,

令得或(舍去), 　 　

当时,,当时,单调增函数;

当时,单调减函数,

所以当时,取得最大,最大值为.

所以

当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以

综上,当时, ;　　 当时, 　 　

20.(本小题满分12分)

等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的　 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. 　 　

(1)求r的值；　　　

(11)当b=2时，记　 　　求数列的前项和

解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,

当时,, 　 　

当时,,

又因为{}为等比数列,　 所以,　 公比为,　 　所以

(2)当b=2时，,　　

则

相减,得

所以

19. (本小题满分12分)

　 一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.

(1)　　　 求z的值. 　 　

(2)　　　 用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;

(3)　　　 用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,　 8.6, 9.2,　 9.6,　 8.7,　 9.3,　 9.0,　 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.

解: (1).设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得,,所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400

(2) 设所抽样本中有m辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S₁,S₂;B_1,B₂,B₃,则从中任取2辆的所有基本事件为(S₁, B₁), (S₁, B₂) , (S₁, B₃) (S₂ ,B₁), (S₂ ,B₂), (S₂ ,B₃),( (S₁, S₂),(B₁ ,B₂), (B₂ ,B₃) ,(B₁ ,B₃)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: (S₁, B₁), (S₁, B₂) , (S₁, B₃) (S₂ ,B₁), (S₂ ,B₂), (S₂ ,B₃),( (S₁, S₂),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为.

(3)样本的平均数为,

那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4,　 8.6,　 9.2,　 8.7,　 9.3,　 9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为.

18.(本小题满分12分)

　　 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,　 AA=2,　 E、E分别是棱AD、AA的中点. 　 　

(1)　　　 设F是棱AB的中点,证明：直线EE//平面FCC；

(2)　　　 证明:平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.

证明:(1)在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A₁B₁的中点F₁，

连接A₁D，C₁F₁，CF₁，因为AB=4, CD=2,且AB//CD，

所以CDA₁F₁，A₁F₁CD为平行四边形，所以CF₁//A₁D，

又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE₁//A₁D，

所以CF₁//EE₁，又因为平面FCC，平面FCC，

所以直线EE//平面FCC.

(2)连接AC,在直棱柱中，CC₁⊥平面ABCD,AC平面ABCD,

所以CC₁⊥AC,因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4, BC=2,

　F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，

,△ACF为等腰三角形，且

所以AC⊥BC,　 又因为BC与CC₁都在平面BB₁C₁C内且交于点C,

所以AC⊥平面BB₁C₁C,而平面D₁AC,

所以平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.