12．如图，已知平面A₁B₁C₁平行于三棱锥V-ABC的底面ABC，等边∆ AB₁C所在的平面与底面ABC垂直，且ACB=90°，设AC=2a,BC=a．

(1)求证直线B₁C₁是异面直线AB₁与A₁C₁的公垂线；

(2)求点A到平面VBC的距离；

(1)证明：∵平面∥平面，

,

又∵平面⊥平面，平面∩平面，

∴⊥平面，，

又，．为与的公垂线．

(2)解法1：过A作于D， ∵△为正三角形，∴D为的中点．

∵BC⊥平面∴，

又，∴AD⊥平面，

∴线段AD的长即为点A到平面的距离．

在正△中，．

∴点A到平面的距离为．

解法2：取AC中点O连结，则⊥平面，且=．

由(1)知，设A到平面的距离为x，，

即，解得．

即A到平面的距离为．

所以到平面的距离为．

空间的距离有：点与点、点到直线、点到平面、两平行直线、两异面直线、线与面、面与面、球面上两点间的距离。这七种距离一般都可以转化为点到点、点到线、点到面这三种距离,其中,点到面的距离是重点．

在求距离的过程中，常常由“作出距离”、“证明”、“计算”三部分组成。

在计算点到面的距离时，常将所求的“垂线段”放到某一个平面中加以分析，运用勾股定理、正余弦定理进行计算, 或运用等积法进行计算。

11．已知l是过正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点的平面AB₁D₁与下底面ABCD所在平面的交线，

(1)求证：D₁B₁∥l；

(2)若AB=a，求l与D₁间的距离．

(1)证明：∵D₁B₁∥BD，∴D₁B₁∥平面ABCD．

又平面ABCD∩平面AD₁B₁=l，∴D₁B₁∥l．

(2)解：∵D₁D⊥平面ABCD，

在平面ABCD内，由D作DG⊥l于G，连结D₁G，

则D₁G⊥l，D₁G的长即等于点D₁与l间的距离．

∵l∥D₁B₁∥BD，∴∠DAG=45°．

∴DG=a，D₁G===a．

10．在空间四边形ABCD中，AD=AC=BD=BC=a，AB=CD=b，E、F分别是AB、CD的中点．

(1)求证：EF是AB和CD的公垂线；

(2)求AB和CD间的距离．

证明：(1)连结AF、BF，

，∴，

∴．又，∴，同理：EFCD．

∴EF是AB和CD的公垂线．

解:(2)EF就是AB和CD的距离．在，

9．已知Rt△ABC的直角顶点C在平面α内，斜边AB∥α，AB=2，AC、BC分别和平面α成45°和30°角，则AB到平面α的距离为__________．2

8．如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是　 　　．

7．在中，，所在平面外一点到三顶点的距离都是，则到平面的距离是　　　　　　　　　　　 ( 　)

A．　　　　 　　　　　 B．　　　　 　　　　　　 C．　　　　 　　　　　　 D．

6．把边长为的正三角形沿高线折成的二面角，点到的距离是( D)

A．　　　 　　　　　　　 B．　　　 　　　　 C．　　　 　　　　 D．

5．在四面体中，两两垂直，是面内一点，到三个面的距离分别是，则到的距离是　 ( 　)

A．　　　　 　　　　　　 B．　　　　　 　　　　 C．　　　　 　　　　　 D．

4．已知正方形所在平面，，点到平面的距离为，点到平面的距离为，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( D　 )

A．　 　　　 B．　　 　 C．　　 　　 D．

3．正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E是A₁B₁的中点，则E到平面AB C₁D₁的距离为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( B )

A．　　　 　　　　　　　 B．　　 　　　　　　 C．　 　　　　　　　　　　 D．