2． 对 型的极限，要分别通过“约去使分母为零的因式、同除以分子、分母的最高次幂、有理化分子”等变形，化归转化后再求极限值。

1． 极限的四则运算法则只用于有限次的运算,对于n项和的极限,要先求和再求极限;

[例1] 求下列极限：

(1);　 (2) (－n);

(3)(++…+)．

分析:(1)因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n²后再求极限；(2)因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；(3)因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限．

解:(1)==．

(2) (－n)= ==．

(3)原式===(1+)=1．

◆特别提示::对于(1)要避免下面两种错误：①原式===1,②∵(2n ²+n+7), (5n²+7)不存在，∴原式无极限．对于(2)要避免出现下面两种错误：　　　　　 ①(－n)= －n=∞－∞=0;②原式=－n=∞－∞不存在．对于(3)要避免出现原式=++…+=0+0+…+0=0这样的错误．

[例2] 已知数列{a_n}是由正数构成的数列，a₁＝3，且满足lga_n＝lga_n－1+lgc，其中n是大于1的整数，c是正数．

(1)求数列{a_n}的通项公式及前n和S_n；

(2)求的值．

解:(1)由已知得a_n＝c·a_n－1,

∴{a_n}是以a₁＝3，公比为c的等比数列，则a_n＝3·c^n－1．

∴S_n＝

(2) ＝．

①当c=2时，原式＝－;

②当c＞2时，原式＝＝－;

③当0＜c＜2时，原式=＝．

评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用．

[例3] 已知直线l:x－ny=0(n∈N *),圆M:(x+1)²+(y+1)²=1,抛物线:y=(x－1)²,又l与M交于点A、B，l与交于点C、D，求．

分析:要求的值，必须先求它与n的关系．

解:设圆心M(－1,－1)到直线l的距离为d,则d²=．

又r=1,∴|AB|²=4(1－d²)=．

设点C(x₁,y₁), D(x₂,y₂)，

由nx²－(2n+1)x+n=0,

∴x₁+x₂=, x₁·x₂=1．

∵(x₁－x₂)²=(x₁+x₂)²－4x₁x₂=,(y₁－y₂)²=(－)²=,

∴|CD|²=(x₁－x₂)²+(y₁－y₂)²

=(4n+1)(n²+1)．

∴===2．

评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题．要求极限，需先求,这就要求掌握求弦长的方法．

[例4]若数列{a_n}的首项为a₁=1,且对任意n∈N*,a_n与a_n+1恰为方程x²－b_nx+cⁿ=0的两根,其中0＜|c|＜1,当(b₁+b₂+…+b_n)≤3时,求c的取值范围．

解:首先,由题意对任意n∈N*,a_n·a_n+1=cⁿ恒成立．

∴===c．又a₁·a₂=a₂=c．

∴a₁,a₃,a₅,…,a_2n－1,…是首项为1,公比为c的等比数列,a₂,a₄,a₆,…,a_2n,…是首项为c,公比为c的等比数列．其次,由于对任意n∈N*,a_n+a_n+1=b_n恒成立．

∴==c．又b₁=a₁+a₂=1+c,b₂=a₂+a₃=2c,

∴b₁,b₃,b₅,…,b_2n－1,…是首项为1+c,公比为c的等比数列,b₂,b₄,b₆,…,b_2n,…是首项为2c,公比为c的等比数列,

∴ (b₁+b₂+b₃+…+b_n)

= (b₁+b₃+b₅+…)+ (b₂+b₄+…)

=+≤3．

解得c≤或c＞1．∵0＜|c|＜1,∴0＜c≤或－1＜c＜0．

故c的取值范围是(－1,0)∪(0,］．

提炼方法: 本题的解题目标是将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式,即将{b_n}的各项和表示为关于c的解析式;关键是对数列特点的分析和运用;显然“起点”应是一元二次方程根与系数的关系．

[研讨．欣赏]在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法进行:从原点出发,在x轴上向正方向前进a(a＞0)个单位后,向左转90°,前进a r (0＜r＜1＝个单位,再向左转90°,又前进a r²个单位,…,如此连续下去．

(1)若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原定方案相同,则大本营在何处寻找小分队?

(2)若其中的r为变量,且0＜r＜1,则行动的最终目的地在怎样的一条曲线上?

剖析：(1)小分队按原方案走,小分队最终应在运动的极限位置．

(2)可先求最终目的地关于r的参数形式的方程．

解:(1)由已知可知即求这样运动的极限点,设运动的极限位置为Q(x,y),则

x=a－ar²+ar⁴－…==,

y=ar－ar³+ar⁵－…=,

∴大本营应在点(,)附近去寻找小分队．

(2)由消去r得(x－)²+y²=(其中x＞,y＞0),

即行动的最终目的地在以(,0)为圆心,为半径的圆上．

6． －1

5． =0．12+0．0012+…=0．12/(1─0．01) =4/33．

4． ．分子先求和,再求极限．

3．由=2,得a=2b．

由=3,得b=3c,∴c=b．

∴=6．∴== =6．　

6． =_____

简答:1-3．BBD；

5． 将无限循环小数化为分数是_________

4．(2006重庆)　　 。