函数极限的定义:

当自变量取正值并且无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是，记作：，或者当时， ；当自变量取负值并且绝对值无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是.

记作或者当当时，

如果且，那么就说当趋向于无穷大时，函数的极限是，记作：或者当时， .

常数函数: ()，有.

存在，表示和都存在，且两者相等所以中的既有，又有的意义，而数列极限中的仅有的意义.

趋向于定值的函数极限概念：当自变量无限趋近于()时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向时，函数的极限是，记作.特别地，；.

.

其中表示当从左侧趋近于时的左极限，

表示当从右侧趋近于时的右极限.

对于函数极限有如下的运算法则：

如果，,那么,

,　 .

当是常数，是正整数时:,

这些法则对于的情况仍然适用.

函数在一点连续的定义: 如果函数在点处有定义，存在，

且，那么函数在点处连续.

函数在内连续的定义：如果函数在某一开区间内每一点处连续，就说函数在开区间内连续，或是开区间内的连续函数.

函数在上连续的定义：如果在开区间内连续，在左端点处有，在右端点处有就说函数在闭区间上连续,或是闭区间上的连续函数.

最大值：是闭区间上的连续函数，如果对于任意，≥，那么在点处有最大值.

最小值：是闭区间上的连续函数，如果对于任意，≤，那么在点处有最小值.

最大值最小值定理

如果是闭区间上的连续函数，那么在闭区间上有最大值和最小值.

极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系数；

指数型(和型)，通过变形使得各式有极限；

根式型(型)，通过有理化变形使得各式有极限；

根的存在定理：若①函数在上连续，②，则方程至少有一根在区间内；若①函数在上连续且单调，②，则方程有且只有一根在区间内.

(重庆)　　　　　　　　

(上海)计算：　　　　　　　

(上海)计算：＝　　　　　　　 　

(湖南)已知数列()为等差数列，且，，

则　 　　　　

(湖北)已知不等式，其中为大于的整数，

表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足，≤，，…证明，，…

猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值(不必证明)；

)试确定一个正整数，使得当时，对任意，都有.

将化成分数是　　　　

若，则的取值范围是 　　

　　　　　　　 ；　　　　　　　

已知，则　　　 ；　　　 ；　　　　　

　(湖北宜昌市月模拟)已知数列满足()，

且，则　　　 　　　　　　　　　

　(届高三湖北八校联考)已知数列的前项和满足，则其各项和等于　　　　 　　 　　　　　

若数列的通项公式是，，…，

则 　　　　 　　　　

数列中，，，，则

、

问题1．求下列数列的极限：；　 ；　

问题2．(陕西)等于

(天津)设等差数列的公差是，前项的和为，则　　

(湖北)已知和是两个不相等的正整数，且≥，则

问题3．若，求和的值；

若，求的取值范围.

问题4．已知数列满足，，，… ，

若，则　　　　 　　　　　　　　　　

已知，数列满足，(，…)，且数列的极限存在，则　　　　　　　　　 　(结果用表示).

问题5．(福建)如图，连结的各边中点

得到一个新的又连结的各边中点得

到，如此无限继续下去，得到一系列三角形：

，，，…，这一系列

三角形趋向于一个点.已知

则点的坐标是　　　　　

数列极限的定义：

一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数

(即无限地接近于)，那么就说数列以为极限.记作.

注：不一定是中的项

几个重要极限：(，为常数)； (是常数)；

　；　　　　　　

极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系数；

指数型(和型)，通过变形(如通分，约分)使得各式有极限；

根式型(型)，通过有理化变形使得各式有极限；

数列极限的运算法则:与函数极限的运算法则类似, 如果，，那么

　 .

特别地，如果是常数，那么，

无穷等比数列的各项和：公比的绝对值小于的无穷等比数列前项的和当无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做；

(上海)设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”．那么，下列命题总成立的是

　 若成立，则当时，均有成立

　 若成立，则当时，均有成立

　 若成立，则当时，均有成立

　 若成立，则当时，均有成立

　(湖南)已知函数,数列{}满足:

，，求证: ;.

(江西)已知数列满足：，且(≥，)

求数列的通项公式；求证：对于一切正整数，不等式

(湖北)已知为正整数，

用数学归纳法证明：当时，≥；

对于≥，已知，求证，；

求出满足等式的所有正整数.

观察下列式子：，则可以猜想的结论为：　　　　　　　　　 　

用数学归纳法证明“”，从“到”左端需增乘的代数式为

(重庆市重点中学二联)如图，第个图形是由正边形“扩展”而来(，，，…)，则第个图形中共有　　　　　　 个顶点.

凸边形有条对角线，则凸边形有对角线条数为

平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这条直线把平面分成个区域.

问题1．求证：能被整除.

问题2．求证：

设，且，用数学归纳法证明：

用数学归纳法证明：(其中≥，且).

问题3．已知，，其中、，，，，且.求的反函数；对任意，试指出与的大小关系，并证明你的结论.

问题4．(浙江)设点，和抛物线：()，其中＝，由以下方法得到：，点在抛物线：上，点到的距离是到上点的最短距离，…，点在抛物线：上，点到的距离是 到 上点的最短距离． 求及的方程；证明是等差数列．

归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法特点：特殊→一般.

不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法

完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法

完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法

数学归纳法:对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当(，≥)时命题成立，证明当命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.

数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当(，≥)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立.

用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

证明：当取第一个值结论正确；假设当(，≥)时结论正确，证明当时结论也正确由，可知，命题对于从开始的所有正整数都正确.数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.

用数学归纳法证题时，两步缺一不可；证题时要注意两凑：一凑归纳假设，二凑目标.

(四川)甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为人的样本，应在这三校分别抽取学生

人，人，人　人，人，人

人，人，人　人，人，人

(天津) 某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中种型号产品有件.那么此样本的容量　　　　　　

(陕西文)某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有种、种、种、种，现从中抽取一个容量为的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是(　 )　 　　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　

(全国Ⅰ文)从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取袋，测得各袋的质量分别为(单位：)：

根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在-之间的概率约为　　　　　　　

(湖北)某初级中学有学生人，其中一年级人，二、三年级各人，现要利用抽样方法抽取人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为，，…，；使用系统抽样时，将学生统一随机编号，，…，，并将整个编号依次分为段.如果抽得号码有下列四种情况：

　　 ①，，，，，，，，，；

　　 ②，，，，，，，，，；

　　 ③，，，，，，，，，；

　　 ④，，，，，，，，，；

　　 关于上述样本的下列结论中，正确的是

　　 ②、③都不能为系统抽样　　　　　 ②、④都不能为分层抽样

　　 ①、④都可能为系统抽样　　　　　 ①、③都可能为分层抽样

(湖南)设随机变量服从标准正态分布，已知，

则　 　　 　　　 　　　 　

(福建)两封信随机投入三个空邮箱，则邮箱的信件数的数学期望　　　　

(浙江)已知随机变量服从正态分布，，

则　　 　　　　 　　 　　　　

(全国Ⅱ)在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在内取值的概率为，则在内取值的概率为　　　　

(届高三浙江嘉兴市二检)已知随机变量，若，则　

(辽宁文)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：

分组	[500，900)	[900，1100)	[1100，1300)	[1300，1500)	[1500，1700)	[1700，1900)	[1900，)
频数
频率

将各组的频率填入表中；

根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足小时的频率；

该公司某办公室新安装了这种型号的灯管支，若将上述频率作为概率，试求至少有支灯管的使用寿命不足小时的概率．