题型1:求轨迹方程
例1.(1)一动圆与圆外切,同时与圆
内切,求动圆圆心
的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线。
(2)双曲线有动点
,
是曲线的两个焦点,求
的重心
的轨迹方程。
解析:(1)(法一)设动圆圆心为,半径为
,设已知圆的圆心分别为
、
,
将圆方程分别配方得:,
,
当
与
相切时,有
①
当与
相切时,有
②
将①②两式的两边分别相加,得,
即
③
移项再两边分别平方得:
④
两边再平方得:,
整理得,
所以,动圆圆心的轨迹方程是,轨迹是椭圆.
(法二)由解法一可得方程,
由以上方程知,动圆圆心到点
和
的距离和是常数
,所以点
的轨迹是焦点为
、
,长轴长等于
的椭圆,并且椭圆的中心在坐标原点,焦点在
轴上,
∴,
,∴
,
,
∴,
∴圆心轨迹方程为。
(2)如图,设点坐标各为
,∴在已知双曲线方程中
,∴
∴已知双曲线两焦点为,
∵存在,∴
由三角形重心坐标公式有,即
。
∵,∴
。
已知点在双曲线上,将上面结果代入已知曲线方程,有
即所求重心的轨迹方程为:
。
点评:定义法求轨迹方程的一般方法、步骤;“转移法”求轨迹方程的方法.
例2.(2009年广东卷文)(本小题满分14分)
已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为
,两个焦点分别为
和
,椭圆G上一点到
和
的距离之和为12.圆
:
的圆心为点
.
(1)求椭圆G的方程
(2)求的面积
(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.
解(1)设椭圆G的方程为: (
)半焦距为c;
则 , 解得
,
所求椭圆G的方程为:.
(2 )点的坐标为
(3)若,由
可知点(6,0)在圆
外,
若,由
可知点(-6,0)在圆
外;
不论K为何值圆
都不能包围椭圆G.
题型2:圆锥曲线中最值和范围问题
例3.(1)(2009辽宁卷理)以知F是双曲线的左焦点,
是双曲线右支上的动点,则
的最小值为
。
[解析]注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0),
于是由双曲线性质|PF|-|PF’|=2a=4
而|PA|+|PF’|≥|AF’|=5
两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.
[答案]9
(2)(2009重庆卷文、理)已知椭圆的左、右焦点分别为
,若椭圆上存在一点
使
,则该椭圆的离心率的取值范围为
.
[解析1]因为在中,由正弦定理得
则由已知,得,即
设点由焦点半径公式,得
则
记得由椭圆的几何性质知
,整理得
解得
,故椭圆的离心率
[解析2] 由解析1知由椭圆的定义知
,由椭圆的几何性质知
所以
以下同解析1.
[答案]
(3)(2009四川卷理)已知直线和直线
,抛物线
上一动点
到直线
和直线
的距离之和的最小值是( )
A.2
B.3 C.
D.
[考点定位]本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离,综合题。
[解析1]直线
为抛物线
的准线,由抛物线的定义知,P到
的距离等于P到抛物线的焦点
的距离,故本题化为在抛物线
上找一个点
使得
到点
和直线
的距离之和最小,最小值为
到直线
的距离,即
,故选择A。
[解析2]如图,由题意可知
[答案]A
点评:由△PAF成立的条件,再延伸到特殊情形P、A、F共线,从而得出
这一关键结论.
例4.(1)(2009江苏卷)(本题满分10分)
在平面直角坐标系
中,抛物线C的顶点在原点,经过点A(2,2),其焦点F在
轴上。
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)求过点F,且与直线OA垂直的直线的方程;
(3)设过点的直线交抛物线C于D、E两点,ME=2DM,记D和E两点间的距离为
,求
关于
的表达式。
(2)(2009山东卷文)(本小题满分14分)
设,在平面直角坐标系中,已知向量
,向量
,
,动点
的轨迹为E.
(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
(2)已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且
(O为坐标原点),并求出该圆的方程;
(3)已知,设直线
与圆C:
(1<R<2)相切于A1,且
与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.
解(1)因为,
,
,
所以, 即
.
当m=0时,方程表示两直线,方程为;
当时, 方程表示的是圆
当且
时,方程表示的是椭圆;
当时,方程表示的是双曲线.
(2).当时, 轨迹E的方程为
,设圆心在原点的圆的一条切线为
,解方程组
得
,即
,
要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,
则使△=,
即,即
,
且
,
要使, 需使
,即
,
所以, 即
且
, 即
恒成立.
所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为,
, 所求的圆为
.
当切线的斜率不存在时,切线为,与
交于点
或
也满足
.
综上, 存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且
.
(3)当时,轨迹E的方程为
,设直线
的方程为
,因为直线
与圆C:
(1<R<2)相切于A1, 由(2)知
, 即
①,
因为与轨迹E只有一个公共点B1,
由(2)知得
,
即有唯一解
则△=, 即
,
②
由①②得, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点,
由 中
,所以,
,
B1(x1,y1)点在椭圆上,所以,所以
,
在直角三角形OA1B1中,因为
当且仅当
时取等号,所以
,即
当时|A1B1|取得最大值,最大值为1.
[命题立意]:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.
题型3:证明问题和对称问题
例5.(1)如图,椭圆=1(a>b>0)与过点A(2,0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=
.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设F、F
分别为椭圆的左、右焦点,M为线段AF
的中点,求证:∠ATM=∠AF
T。
解 (1)由题意:
,解得
,所求椭圆方程为
(2)(2009天津卷文)(本小题满分14分)
已知椭圆(
)的两个焦点分别为
,过点
的直线与椭圆相交于点A,B两点,且
(Ⅰ求椭圆的离心率;
(Ⅱ)直线AB的斜率;
(Ⅲ)设点C与点A关于坐标原点对称,直线上有一点H(m,n)(
)在
的外接圆上,求
的值。
解 (1)由,得
,从而
,整理得
,故离心率
(2)由(1)知,,所以椭圆的方程可以写为
设直线AB的方程为即
由已知设则它们的坐标满足方程组
消去y整理,得
依题意,
而,有题设知,点B为线段AE的中点,
所以
联立三式,解得,将结果代入韦达定理中解得
.
(3)由(2)知,,当
时,得A
由已知得
线段的垂直平分线l的方程为
直线l与x轴的交点
是
的外接圆的圆心,因此外接圆的方程为
直线的方程为
,于是点
满足方程组
由,解得
,故
当时,同理可得
.
点评:本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。
(3)在平面直角坐标系O
中,直线
与抛物线
=2
相交于A、B两点.
①求证:“如果直线过点T(3,0),那么
=3”是真命题;
②写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.
解析:
(3)证明:①设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x12,y2).
当直线l的钭率下存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于A(3,)、B(3,-
),∴
=3。
当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x-3),其中k≠0.
当 |
![]() |
得ky2-2y-6k=0,则y1y2=-6. |
y=k(x-3) |
又∵x1=y
, x2=
y
,
∴=x1x2+y1y2=
=3.
综上所述, 命题“如果直线l过点T(3,0),那么=3”是真命题.
②逆命题是:设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.
例如:取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时
=3,
直线AB的方程为Y=(X+1),而T(3,0)不在直线AB上.
点评:由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1)、B(x12,y2)满足=3,可得y1y2=-6。或y1y2=2,如果y1y2=-6,可证得直线AB过点(3,0);如果y1y2=2,
可证得直线AB过点(-1,0),而不过点(3,0)。
例6.(1)(2009辽宁卷文、理)(本小题满分12分)
已知,椭圆C以过点A(1,),两个焦点为(-1,0)(1,0)。
(1) 求椭圆C的方程;
(2) E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值。
(Ⅰ)解 由题意,c=1,可设椭圆方程为。
因为A在椭圆上,所以,解得
=3,
=
(舍去)。
所以椭圆方程为 .
(Ⅱ)证明 设直线AE方程:得,代入
得
设E(,
),F(
,
).因为点A(1,
)在椭圆上,
所以,
。
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以代
,可得
,
。
所以直线EF的斜率。
即直线EF的斜率为定值,其值为。
(2)(2009福建卷文)(本小题满分14分)
已知直线经过椭圆
的左顶点A和上顶点D,椭圆
的右顶点为
,点
和椭圆
上位于
轴上方的动点,直线,
与直线
分别交于两点.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求线段MN的长度的最小值;
(Ⅲ)当线段MN的长度最小时,在椭圆上是否存在这样的点
,使得
的面积为
?若存在,确定点
的个数,若不存在,说明理由
解 方法一(I)由已知得,椭圆的左顶点为
上顶点为
故椭圆的方程为
(Ⅱ)直线AS的斜率显然存在,且
,故可设直线
的方程为
,
从而
由得
0
设则
得
,从而
即又
由得
故
又
当且仅当,即
时等号成立
时,线段
的长度取最小值
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当取最小值时,
此时的方程为
要使椭圆上存在点
,使得
的面积等于
,只须
到直线
的距离等于
,所以
在平行于
且与
距离等于
的直线
上。
设直线
则由解得
或
题型4:知识交汇题
例7.已知点,
是抛物线
上的两个动点,
是坐标原点,向量
,
满足
.设圆
的方程为
(I) 证明线段是圆
的直径;
(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时,求p的值.
解析:(I)证明1:
整理得:
试题详情
2.圆锥曲线综合问题
(1)圆锥曲线中的最值问题、范围问题
通常有两类:一类是有关长度和面积的最值问题;一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义,结合几何知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等式知识,以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用,要注意观察、分析图形的特征,将形和数结合起来。
圆锥曲线的弦长求法:
设圆锥曲线C∶f(x,y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则弦长|AB|为:
若弦AB过圆锥曲线的焦点F,则可用焦半径求弦长,|AB|=|AF|+|BF|.
在解析几何中求最值,关键是建立所求量关于自变量的函数关系,再利用代数方法求出相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x,y)的取值范围.
(2)对称、存在性问题,与圆锥曲线有关的证明问题
它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定点、定值问题的判断方法。
(3)实际应用题
数学应用题是高考中必考的题型,随着高考改革的深入,同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题,如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测,以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等.
涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系,合理选择曲线模型,然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断,解题的一般思想是:
(4)知识交汇题
圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题.
1.曲线方程
(1)求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下:
步 骤 |
含 义 |
说 明 |
1、“建”:建立坐标系;“设”:设动点坐标。 |
建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标。 |
(1)
所研究的问题已给出坐标系,即可直接设点。![]() (2) 没有给出坐标系,首先要选取适当的坐标系。 |
2、现(限):由限制条件,列出几何等式。 |
写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)} |
这是求曲线方程的重要一步,应仔细分析题意,使写出的条件简明正确。 |
3、“代”:代换 |
用坐标法表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0 |
常常用到一些公式。 |
4、“化”:化简 |
化方程f(x,y)=0为最简形式。 |
要注意同解变形。 |
5、证明 |
证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 |
化简的过程若是方程的同解变形,可以不要证明,变形过程中产生不增根或失根,应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。 |
这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”:建设现(限)代化”
(2)求曲线方程的常见方法:
直接法:也叫“五步法”,即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。
转移代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点,另一动点依赖于它,那么可寻求它们坐标之间的关系,然后代入定曲线的方程进行求解。
几何法:就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法.
参数法:根据题中给定的轨迹条件,用一个参数来分别动点的坐标,间接地把坐标x,y联系起来,得到用参数表示的方程。如果消去参数,就可以得到轨迹的普通方程。
2.可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题,也可能出现在解答题中间的小问.
1.出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题;
2.与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题,这类问题的综合型较大,解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识,正确的构造不等式或方程,体现了解析几何与其他数学知识的联系。
预测2010年高考:
近年来圆锥曲线在高考中比较稳定,解答题往往以中档题或以押轴题形式出现,主要考察学生逻辑推理能力、运算能力,考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容,要求有所降低,估计2007年高考对本讲的考察,仍将以以下三类题型为主.
1.求曲线(或轨迹)的方程,对于这类问题,高考常常不给出图形或不给出坐标系,以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力;
3.了解圆锥曲线的简单应用.
2.通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想;
1.由方程研究曲线,特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决,要加强等价转化思想的训练;
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