413.　 证明推论3成立.(如图)

已知：a∥b，求证：经过a,b的平面有且只有一个.

证明：(存在性)∵a∥b，由平行线的定义知：a、b共面，所以经过a、b的平面有一个.

(唯一性)，在a上取两点A、B，在b上取一点C.

∵a∥b,∴A、B、C三点不共线，由公理3知过A、B、C三点的平面只有一个，从而过a,b两直线的平面也是惟一的.

412.　 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内.

已知：如图，直线l₁，l₂，l₃，l₄两两相交，且不共点.

求证：直线l₁，l₂，l₃，l₄在同一平面内

解析：证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1.先证某两线确定平面α，然后证其它直线也在α内.

证明：图①中，l₁∩l₂＝P，

∴　 l₁,l₂确定平面α.

又　 l₁∩l₃＝A,l₂∩l₃＝C,　 ∴ C,A∈α.

故　 l₃α.

同理　 l₄α.

∴　 l₁,l₂,l₃,l₄共面.

图②中，l₁,l₂,l₃,l₄的位置关系，同理可证l₁,l₂,l₃,l₄共面.

所以结论成立.

411.　 直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交，交点为A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线a、b、c、m、n共面.

解析： 证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合.

证明　 ∵a∥b,∴过a、b可以确定一个平面α.

∵A∈a,aα，∴A∈α,同理B∈a.

又∵A∈m，B∈m,∴mα.同理可证nα.

∵b∥c,∴过b,c可以确定平面β，同理可证mβ.

∵平面α、β都经过相交直线b、m,

∴平面α和平面β重合，即直线a、b、c、m、n共面.

410.　 点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD＝Y.求证：X、Y、Z三点共线.

解析： 证明点共线的基本方法是利用公理2，证明这些点是两个平面的公共点.

证明　 ∵P、Q、R三点不共线，∴P、Q、R三点可以确定一个平面α.

∵　 X∈PQ，PQα，∴X∈α，又X∈BC，BC面BCD，∴X∈平面BCD.

∴　 点X是平面α和平面BCD的公共点.同理可证，点Y、Z都是这两个平面的公共点，即点X、Y、Z都在平面α和平面BCD的交线上.

409. 若ΔABC所在的平面和ΔA₁B₁C₁所在平面相交，并且直线AA₁、BB₁、CC₁相交于一点O，求证：

(1)AB和A₁B₁、BC和B₁C₁、AC和A₁C₁分别在同一平面内；

(2)如果AB和A₁B₁、BC和B₁C₁、AC和A₁C₁分别相交，那么交点在同一直线上(如图).

(1)证明：∵AA₁∩BB₁＝O,

∴AA₁、BB₁确定平面BAO，

∵A、A₁、B、B₁都在平面ABO内，

∴AB平面ABO；A₁B₁平面ABO.

同理可证，BC和B₁C₁、AC和A₁C₁分别在同一平面内.

(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上.

证明：如图，设AB∩A₁B₁＝P；

AC∩A₁C₁＝R；

∴　 面ABC∩面A₁B₁C₁＝PR.

∵　 BC面ABC；B₁C₁面A₁B₁C₁，

且　 BC∩B₁C₁＝Q　　　 ∴　 Q∈PR,

即　 P、R、Q在同一直线上.

408.　 已知四棱锥P-ABCD，它的底面是边长为a的菱形，且∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，又PC＝a，E为PA的中点.

(1)求证：平面EBD⊥平面ABCD；

(2)求点E到平面PBC的距离；

(3)求二面角A-BE-D的大小.

(1)证明: 在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形，连结AC、BD，交于F，则F为AC的中点.

又E为AD的中点，∴EF∥PC

又∵PC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.EF平面EBD.

∴平面EBD⊥平面ABCD.

(2)∵EF∥PC，∴EF∥平面PBC

∴E到平面PBC的距离即是EF到平面PBC的距离

过F作FH⊥BC交BC于H，

∵PC⊥平面ABCD，FH平面ABCD

∴PC⊥FH.

又BC⊥FH，∴FH⊥平面PBC，则FH是F到平面PBC的距离，也是E到平面PBC的距离.

∵∠FCH＝30°，CF＝a.

∴FH＝CF＝a.

(3)取BE的中点G，连接FG、AG由(1)的结论，平面BDE⊥平面ABCD，AF⊥BD，

∴AF⊥平面BDC.

∵BF＝EF＝，∴FG⊥BE，由三垂线定理得，AG⊥BE，

∴∠FGA为二面角D-BE-A的平面角.

FG＝×＝a,AF＝a.

∴tg∠FGA＝＝,∠FAG＝arctg

即二面角A-BE-D的大小为arctg

407.　 如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，四边形A′ABB′是菱形，四边形BCC′B′是矩形，C′B′⊥AB.

(1)求证：平面CA′B⊥平面A′AB；

(2)若C′B′＝2，AB＝4，∠ABB′＝60°，求AC′与平面BCC′B′所成角的大小.(用反三角函数表示)

解析：(1)∵在三棱柱ABC-A′B′C中，C′B′∥CB，∴CB⊥AB.∵CB⊥BB′，AB∩BB′＝B，∴CB⊥平面A′AB.∵CB平面CA′B，∴平面CA′B⊥平面A′AB

(2)由四边形A′ABB′是菱形，∠ABB′＝60°，连AB′，可知ΔABB′是正三角形.取　　 B B′中点H，连结AH，则AH⊥BB′.又由C′B′⊥平面A′AB，得平面A′ABB′⊥平面　　　　 C′B′BC，而AH垂直于两平面交线BB′，∴AH⊥平面C′B′BC.连结C′H，则∠AC′H为　　 AC′与平面BCC′B′所成的角，AB′＝4，AH＝2，于是直角三角形C′B′A中，A′C＝5，在RtΔAHC′中，sin∠AC′H＝∴∠AC′H＝arcsin,∴直线AC′与平面BCC′B′所成的角是arcsin.

406. 　如图，在二面角α-l-β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中点.

(1)求二面角α-l-β的大小；

(2)求证：MN⊥AB；

(3)求异面直线PA与MN所成角的大小.

解析：(1)连PD，∵ABCD为矩形，∴AD⊥DC，即AD⊥l.又PA⊥l，∴PD⊥l.

∵P、D∈β，则∠PDA为二面角α-l-β的平面角.

∵PA⊥AD，PA＝AD，∴ΔPAD是等腰直角三角形，∴∠PDA＝45°，即二面角α-l-β的大小为45°.

(2)过M作ME∥AD，交CD于E，连结NE，则ME⊥CD，NE⊥CD，因此，CD⊥平面MNE，∴CD⊥MN.∵AB∥CD，∴MN⊥AB

(3)过N作NF∥CD，交PD于F，则F为PD的中点.连结AF，则AF为∠PAD的角平线，∴∠FAD＝45°，而AF∥MN，∴异面直线PA与MN所成的45°角.

405.　 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，AB＝a,AD＝3a,且∠ADC＝arcsin，又PA⊥平面ABCD，AP＝a.求：(1)二面角P-CD-A的大小(用反三角函数表示)；(2)点A到平面PBC的距离.

解析：(1)作CD′⊥AD于D′，∴ABCD′为矩形，CD′＝AB＝a，在RtΔCD′D中.

∵∠ADC＝arcsin,即⊥D′DC＝arcsin，

∴sin∠CDD′＝＝

∴CD＝a　 ∴D′D＝2a

∵AD＝3a,∴AD′＝a＝BC

又在RtΔABC中，AC＝＝a,

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AD，PA⊥AB.

在RtΔPAB中，可得PB＝a.

在RtΔPAC中，可得PC＝＝a.

在RtΔPAD中，PD＝＝a.

∵PC²+CD²＝(a)²+(a)＝8a²＜(a)²

∴cos∠PCD＜0，则∠PCD＞90°

∴作PE⊥CD于E，E在DC延长线上，连AE，由三垂线定理的逆定理得AE⊥CD，∠AEP为二面角P-CD-A的平面角.

在RtΔAED中∠ADE＝arcsin，AD＝3a.

∴AE＝AD·sin∠ADE＝3a·＝a.

在RtΔPAE中，tan∠PEA＝＝＝.

∴∠AEP＝arctan，即二面角P-CD-A的大小为arctan.

(2)∵AD⊥PA，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB.

∵BC∥AD，∴BC⊥平面PAB.

∴平面PBC⊥平面PAB，作AH⊥PB于H，∴AH⊥平面PBC.

AH为点A到平面PBC的距离.

在RtΔPAB中，AH＝＝＝a.

即A到平面PBC的距离为a.

说明　 (1)中辅助线AE的具体位置可以不确定在DC延长线上，而直接作AE⊥CD于E，得PE⊥CD，从而∠PEA为所求，同样可得结果，避免过多的推算.(2)中距离的计算，在学习几何体之后可用“等体积法”求.

404.　 如果直线l、m与平面α、β、满足l＝β∩，l∥α,mα和m⊥.那么必有(　　 )

A.α⊥且l⊥m　　　　　　 B.α⊥且m∥β

C.m∥β且l⊥m　　　　　　　 D.α∥β且α⊥

解析：∵mα,m⊥.　 ∴α⊥.

又∵m⊥,β∩＝l.　 ∴m⊥l.

∴应选A.

说明　 本题考查线面垂直、面面垂直及综合应用推理判断能力及空间想象能力.