492. 给出以下四个命题：

　①若两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行

　②若两条直线和第三条直线都垂直，则这两条直线平行

　③若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行

　④若两条直线分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行

　其中错误命题的个数是(　)个．

　A．1　　　　　 B．2　　　　　　 C．3　　　　　　 D．4

解析：C．根据公理4，知③正确，利用正方体判断其余命题均不正确．由与AB所成角90°，BC与AB所成的角90°，但与BC不平行，从而①、②不正确；在平面内，DC在平面ABCD内，虽平面与平面ABCD相交，仍有∥DC，从而说明④不正确．

491. A、B、C、D是不在同一个平面内的四点．E是线段AD上一点．证明直线CE和BD是异面直线．

解析：设CE、BD不是异面直线，那么CE、BD在同一个平面(设为a)内．由E、D在平面a 内，则直线ED在平面a内，直线ED上的点A也在平面a内，即A、B、C、D都在平面a内，这与A、B、C、D不在同一平面内是相矛盾的，因此CE、BD是异面直线．

490. 在正方体ABCD-中，六个面内与BD所成的角为60°的对角线共有多少条?

解析：参看图答9－10，与BD相交所成角为60°的面对角线、，，四条；与BD异面所成角为60°的面对角线有、、、四条，故一共8条．

图答9－10

489. 直线a和b是平行直线，点A、C在直线a上，点B、D在直线b上，那么直线AB与CD的位置关系是什么?若直线a和b是异面直线呢?

解析：若a∥b，则a，b共面于a，A、B、C、D均在a内，故AB与CD共面于a，则AB与CD的位置关系可能是平行或相交．若a、b是异面直线，则AB与CD必是异面直线．假设AB与CD共面于b，则AC与BD，即a、b共面．这与已知矛盾

488. 判断下列命题是否正确，并说明理由．

　(1)空间两条直线可以确定一个平面；

　(2)垂直于两条异面直线的直线有且只有一条；

　(3)垂直于同一条直线的两条直线平行；

　(4)直线a与b平行，b与c平行，则a与c平行；

　(5)直线a与b相交，b与c相交，则a与c相交；

　(6)直线a与b异面，b与c异面，则a与c异面；

　(7)一条直线与两条平行线中的一条垂直，必和另一条也垂直．

解析：(1)不正确．两条异面直线不能确定一个平面．

　(2)不正确．垂直于两条异面直线的直线有无数多条，但公垂线--与两条异面直线垂直相交的直线有且只有一条．

　(3)不正确．垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面．

　(4)正确．由公理4可知．

　(5)不正确．a、c可能平行，还可能异面．

　(6)不正确．a、c可能异面，但也可能平行或相交．

(7)正确．因为直线与两条平行线所成的角相等

487. 如图9－26，P为△ABC所在平面外一点，点M、N分别是△PAB和△PBC的重心．求证：MN∥平面ABC．

　(三角形的三条中线交于一点，称为重心，重心到一个顶点的距离是该点到对边中点距离的2倍)

图9－26

解析：如图答9－16，连结PM并延长交AB于D，连结PN并延长交BC于E，连结DE．在ΔPAB中，∵　 M是ΔPAB的重心，∴　 ，同理在△PBC中有，在△PDE中，∵　 ，∴　 MN∥DE，∵　 MN平面ABC，DE平面ABC，∴　 MN∥平面ABC．

486. 如图9－25，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且EH∥FG．求证：EH∥BD．

解析：

485. 已知平面a∩平面b＝l，A∈a，B∈a，C∈b (如图9－24)，在下列情况下求作平面ABC与平面b的交线，并说明理由．

　(1)ABl；(2)AB∥l．

解析：(1)∵ABl，AB与l共面于a，∴　 AB与l相交，设AB∩l＝D，连结CD，则CD＝，这是因为D∈AB，D∈l，∴　 D∈平面ABC，D∈b，∴　 D为平面ABC与平面b 的一个公共点，∴　 平面ABC与平面b的交线是过D的一条直线，又C是平面ABC与平面b 的另一个公共点，且平面ABC与平面的交线是过C的一条直线，所以平面＝CD．

图答9－15

　(2)在平面b内过C作CE∥l，则CE＝．∵　 AB∥l，ABb，lb，∴　 AB∥平面b．∵　 平面ABC与平面b 有一个公共点C，∵　 平面ABC与b相交于过C的一条直线m．∵　 AB平面ABC， ＝m，AB∥b，∴　 AB∥m．∵　 AB∥l，∴　 l∥m．于是在b 内过C作l的平行线即为所求的交线．

484. 在正方体ABCD-中，E、F分别为BC、的中点，求证：直线EF∥平面．

解析：取BD中点G，连结EG，．可证为平行四边形(还有其他证法)．

483. 已知三个平面a、b、g 满足＝a，＝b，＝c，且a∥g ，求证：b∥a，c∥b．

如图答9－14，解析：

　同理可证c∥b．