0  446489  446497  446503  446507  446513  446515  446519  446525  446527  446533  446539  446543  446545  446549  446555  446557  446563  446567  446569  446573  446575  446579  446581  446583  446584  446585  446587  446588  446589  446591  446593  446597  446599  446603  446605  446609  446615  446617  446623  446627  446629  446633  446639  446645  446647  446653  446657  446659  446665  446669  446675  446683  447090 

512. 以四面体各面的重心为顶点构成一个新的四面体.求这两个四面体的表面积的比.

解析:因相似多面体全面积的比等于对应边的平方的比,故只须求出对应边的比.

∵B1D1EF=BD,

.

同理,

故ABCD和A′B′C′D′是相似多面体,其表面积的比为1∶9.

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511. 已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为6的正方形,SA⊥底面ABCD,且SA=8,M是SA的中点,过M和BC作截面交SD于N.

(1)求证:截面MBCN是梯形,并求截面的面积;

(2)求截面MBCN与底面ABCD的夹角α.

解析:(1)先证MN∥BC且MN≠BC.因为BC∥AD,所以AD∥截面MBCN,从而

AD∥MN,BC∥MN.

又MN=AD=BC,所以MN≠BC.于是MN和BC平行但不相等,故MBCN是梯形.

再求截面的面积:SA⊥平面ABCD.易证MN和BC都垂直于平面ABS.所以MB⊥MN,MB⊥BC,故

S=(MN+BC)·MB

=(3+6)=9.

(2)首先要找到二面角的平面角.根据上面的证明,知∠MBA的是截面与底面所成二面角的平面角,即∠MBA=α.于是

tanα===

∴α=arctan

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510. 棱锥被平行于底的平面分成体积相等的三部分.求这棱锥的高被分成三部分的比.

解析:设棱锥的高为h,它被截成的三部分自上而下设为h1,h2,h3,则有

()3=,()3=2,()3=.

所以h1=h,h2=(-1)h1=(-1)h,

h3=h.

所以h1∶h2∶h3=1∶(-1)∶(-).

说明  求体积之比或面积之比常用相似比.

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509. 已知三棱锥S-ABC的底面面积是a,三棱锥的高是h,M、N、P、Q分别是SB、SC、AC、AB的中点,求五面体MN-PQBC的体积

解析: 如图,过M作MD∥BA交SA于D,则D是SA的中点,连结ND,则ND∥AC

所求五面体MN-PQBC的体积等于原三棱锥的体积与五面体SA-MQPN的体积之差

而VS-ABC=ah,

VS-DMN=·=ah,

V三棱主柱DMN-APQ=S△AQP·h=ah,

∴VMN-PQBC=VS-ABC-VSA-MQPN

=ah-(ah+ah)

=ah

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508.  三棱锥A-BCD中,AC=BD,AD=BC,AB=CD,三个侧面与底面所成的二面角分别为α、β、,则cosα+cosβ+cos=     .

解析:如图所示,设AC=BD=a,AD=BC=b,AB=CD=c

由已知所有侧面三角形和底面三角形都是全等的三角形.

记为S,侧面在底面的射影分别为S1、S2、S3

=cosα, =cosβ, =cos

cosα+cosβ+cos===1

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507. 下列命题中是真命题的是(   )

A.底面是正方形的棱锥是正四棱锥

B.各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥

C.由一个面是多边形,其余各个面是三角形所围成的几何体是棱锥

D.正四面体是正三棱锥

解析: 解此题时概念要明确,正棱锥不仅要求底面是正多边形,而且还要求其顶点在底面的射影是底面的中心,所以A、B不正确,C中的各三角形没有指明共顶点,C也不正确,D是真命题,所以选D.

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506. 在空间中,

 ①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线.

 ②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.

 以上两个命题中,逆命题为真命题的是__________.

 (把符合要求的命题序号都填上)

解析:②.①的逆命题为:空间四点中若任何三点都不共线,则这四点不共面.此命题是假命题.平行四边形的四个顶点是其反例.

 ②的逆命题为:若两条直线是异面直线,则这两条直线没有公共点,可知此命题为真命题.

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505. 如图9-19,在棱长为a的正方体ABCD-中,OACBD的交点,EF分别是ABAD的中点.

图9-19

 (1)求异面直线所成角的大小;

 (2)求异面直线EF所成角的大小;

 (3)求异面直线EF所成角的正切值;

 (4)求异面直线EF的距离.

解析:(1)∵  AC,∴  AC所成的锐角或直角就是所成的角,连结,在△和△,∵  ,∴△≌△,∴.∴△是等腰三角形.∵  O是底边AC的中点,∴  ,故所成的角是90°.

 (2)∵  EF分别是ABAD中点,∴  EFBD,又∵  AC,∴  ACBD所成的锐角或直角就是EF所成的角.∵  四边形ABCD是正方形,∴  ACBD,∴  EF所成的角为90°

 (3)∵  EFBD,∴  为异面直线EF所成的角.∵  四边形是正方形,∴  ,∴  在Rt△中,,∴  ,即EF所成角的正切值为

 (4)∵  EFBDBDAC,∴  EFAC,设交点为G.∵  AC(由(1)

知)于O,则AC是异面直线EF的公垂线,OG的长即为EF间的距离,由于GOA中点,OAC中点,且,∴  ,即EF间的距离为

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504. 如图9-18,已知P为△ABC所在平面外一点,PCABPCAB=2,EF分别为PABC的中点.

 (1)求证:EFPC是异面直线;

 (2)EFPC所成的角;

 (3)线段EF的长.

解析:(1)用反证法.假设EFPC共面于a,则直线PECF共面a,则AaBa,于是PABC共面于a,这与已知“P是平面ABC外一点”矛盾.故EFPC是异面直线.

 (2)取PB中点G,连结EGFG,由EF分别是线段PABC中点,有EGABGFPC ∴  ∠GFE为异面直线EFPC所成的角,∠EGF是异面直线PCAB所成的角,∵  PCAB,∴  EGGF,即∠EGF=90°.∵  PCAB=2,∴  EG=1,GF=1,故△EFG是等腰直角三角形,∴  ∠GFE=45°,即EFPC所成的角是45°.

 (3)由(2)知Rt△EGFEG=1,GF=1,∠EGF=90°,∴  EF

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503. 借助两支铅笔,试研究以下问题:

 (1)在平面内,过直线外一点有多少条直线与已知直线平行?在空间呢?

图9-17

 (2)在一个平面内,过一点有多少条直线与已知直线垂直?在空间呢?

 (3)在一个平面内,与该平面内的已知直线所成角为60°的直线有多少条?这些直线与已知直线的位置关系如何?在空间,与一条直线所成角为60°的直线有多少条?这些直线与已知直线的位置关系如何?

解析:(1)在一个平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;在空间也如此.

 (2)在一个平面内,过一点(该点可在直线上,也可在直线外)有且只有一条直线与已知直线垂线;在空间过直线上或直线外一点都有无数条直线和已知直线垂直,这无数条直线在过已知点的一个平面上(以后可知该平面与直线垂直).

 (3)在一个平面内,与已知直线成60°角的直线有无数条,这无数条直线平行,且都与已知直线相交;在空间也是有无数条直线与已知直线成60°角,它们与已知直线位置关系是相交或异面.

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