572. 斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面△ABC中，AB=AC=10，BC=12，A₁到A、B、C三点的距离都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。

解析：∵A₁A=A₁B=A₁C

∴ 点A₁在平面ABC上的射影为△ABC的外心，在∠BAC平分线AD上

∵ AB=AC

∴ AD⊥BC

∵ AD为A₁A在平面ABC上的射影

∴ BC⊥AA₁

∴ BC⊥BB₁

∴ BB₁C₁C为矩形，S=BB₁×BC=156

取AB中点E，连A₁E

∵ A₁A=A₁B

∴ A₁E⊥AB

∴

∴

∴ S_侧=396

571. 正三棱锥的侧棱等于10cm，侧面积等于144cm²，求棱锥的底面边长和斜高。

解析：设底面边长为a，斜高为h’

则

∴ 或

570. 正四棱锥棱长均为a，(1)求侧面与底面所成角α；(2)若相邻两侧面所成角为β，求证：β=2α。

解析：如图，正四棱锥S-ABCD，SO、SF分别为高、斜高，∠SFO为二面角S-AB-O平面角，∠SFO=α，在△SBC中，作BE⊥SC，E为垂足，连DE

∵ △BCE≌△DCE

∴ DE⊥SC

∴∠BED为侧面B-SC-D平面角，∠BED=β

　 (1)

∴

∴

∴

　 (2)连EO

∵

∴

∵

∴ 由得：

∴ β=2α

569. 四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，A₁B=A₁D，求证：(1)对角面AA₁C₁C⊥截面A₁BD；(2)对角面D₁DBB₁是矩形

解析：(1)∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC

设BD∩AC=0，又A₁B=A₁D，

∴ BD⊥A₁O

∵ A₁O∩AC=O

∴ BD⊥平面AA₁C₁C

∴ 平面A₁BD⊥对角面AA₁C₁C

(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 由(1)，BD⊥平面AC₁

∴ BD⊥AA₁

又DD₁∥AA₁

∴ BD⊥DD₁

568. 正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B与对角面A₁B₁CD所成角为30⁰，求证：此四棱柱为正方体。

解析：∵ A₁B₁⊥平面B₁C

∴ 平面A₁B₁CD⊥平面BC₁，交线为B₁C

在平面B₁C内作BO⊥B₁C，O为垂足，连A₁O

则BO⊥平面A₁B₁CD

∴ ∠BA₁O为BA₁与平面A₁B₁CD所成的角

∴ ∠BA₁O=30⁰

设正四棱柱底面边长为a，高为h

则

∵　sin∠BA₁O=

∴

∴ a²+h²=2ah

∴ a=h

∴ 正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体

567. 一个正棱锥的一个侧面与底面所成角是θ，底面积Q，则它的侧面积是________。

解析： Qsecθ 　正棱锥的底面是侧面在底面上的射影，利用面积射影定理

566. 正六棱柱的高为5cm，最长对角线为13cm，它的侧面积是__________。

解析： 180cm² 　设正六棱柱底面边长为a，高为h，则h²+(2a)²=13²，h=5，∴a=6，∴侧面积=6ah=180

565. 正n棱柱每相邻两个侧面所成二面角度数为__________。

解析：　 底面正多边形的每一个内角为某两个邻面所成二面角的平面角，正n边形内角度数为

564. 正四棱柱的一个侧面面积为S，则它的对角面面积是__________。

解析：　 设正棱柱底面边长为a，高为h，则ah=S，对角面面积为

563. 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有

A、1个　　　　　 B、2个　　　　　 C、3个　　　　　 D、4个

解析：D。 如图，ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则P-ABCD的四个侧面均为直角三角形