例5、设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①（a?b）c－（c?a）b=0  ②|a|－|b|<|a－b|  ③（b?c）a－（c?a）b不与c垂直④（3a+2b）（3a－2b）=9|a|²－4|b|²中，是真命题的有（    ）

A.①②              B.②③              C.③④              D.②④

答案：D

解析：①平面向量的数量积不满足结合律.故①假；

②由向量的减法运算可知|a|、|b|、|a－b|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；

③因为［（b?c）a－（c?a）b］?c=（b?c）a?c－（c?a）b?c=0，所以垂直.故③假；

④（3a+2b）（3a－2b）=9?a?a－4b?b=9|a|²－4|b|²成立.故④真.

点拨：作为选择题要注意解题方法的选择，先分析对错最为明显的论断以排除选项.注意区分向量运算与数量运算.

重点2.平面向量的数量积及运算律

点评：①本题利用模的性质|a|²=a²，②在计算x,y的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设=b, =a, =2a,∠BAC=60°.由向量减法的几何意义，得=－=2a－b.由余弦定理易得||=，即|x|=，同理可得|y|=.

∴cosθ=－，θ=π－arccos.即x与y的夹角是π－arccos

又∵x?y=|x||y|cosθ，即－=×cosθ，

    =7a?b－2a²－3b² =7×－2－3=－，

|y|²=y²=(3b－a)²=9b²－6b?a+a²=9－6×+1=7.

x?y=(2a－b)?(3b－a)=6a?b－2a²－3b²+a?b

∵|x|²=x²=(2a－b)²=4a²－4a?b+b²=4－4×+1=3，

解：由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角α为60°,得a?b=|a||b|cosα=.

要计算x与y的夹角θ，需求出|x|，|y|，x?y的值.

重点1.

例2：(数量积运算求夹角)已知| a |=1,| b |=1，a与b的夹角为60°, x =2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角是多少？

分析：要计算x与y的夹角θ，需求出|x|,|y|,x?y的值.计算时要注意计算的准确性.