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点评:本题考查直线与椭圆的位置关系,考查解析几何的基本思想方法.解题的关键是设而不求的整体思想.若对解析几何中“设而不求”的整体思想认识模糊,则会陷入复杂的运算导致错误.
解析:该椭圆的右焦点的坐标是,该直线方程是,代入椭圆方程得.设,则的面积等于
例1 过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于两点,为坐标原点,则的面积为 .
①直线方程中含有参数时,要先考虑直线是否过定点,或是否是平行直线系.②直线和圆的题目要尽量使用数形结合思想解题,以简化运算.本题第(2)问也可以不用向量的方法,运用三角形余弦定理,得到(圆O半径为r=4),当AB垂直于y轴时,弦长|AB|取最小值;当AB是圆的直径时, |AB|取最大值.所以,所以,以下同上解法.
七 高考风向标
考查方向一:填空选择题由过去的单一考查概念与定义、基本元素与基本关系逐渐转向突出考查数学思想方法,在“知识网络交汇点”命题.解决这类问题的关键在于对知识掌握的基础性、全面性和熟练性.
所以△AOB面积S△AOB的最大值为.
反思:第一问考查过定点的直线系及点在圆内的判断方法,第二问考查以向量为工具,解决三角形面积问题,在运算方面仍然考查设而不求,运用用韦达定理整体运算.
所以S△AOB=,
所以,
,
所以,当k=0时,最大值为,所以,
,
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