1.一条直线与一个平面所成的角等于,另一直线与这个平面所成的角是. 则这两条直
线的位置关系( )
A.必定相交 B.平行 C.必定异面 D.不可能平行
点评:本题考查空间线面位置关系的有关定理、线面角、二面角等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查转化的数学思想,考查空间想象、逻辑思维、运算求解等能力.本题第一问是一个证明线线垂直问题,证明的基本思想是转化为证明线面垂直,只要考生熟悉这个转化策略,熟悉空间线面位置关系的有关定理,解决起来困难不大;第二问以一个动态的情境给出,确定动点的位置是解决的关键所在,这就要求有一定的逻辑推理能力和分析问题的能力,这个地方能有效地检测考生的思维层次,是一个设计优秀的试题.
八、沙场练兵
取,则,因为,,,所以平面,故为平面的一法向量.又,所以.因为二面角为锐角,所以所求二面角的余弦值为.
设平面的一法向量为,则因此
所以.
,,
解法二:由(1)知两两垂直,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,因为分别为的中点,所以
过作于,则平面,过作于,连接,则为二面角的平面角,在中,,,又是的中点,在中,,又,在中,,即所求二面角的余弦值为.
解法一:因为平面,平面,所以平面平面.
在中,,所以当最短时,最大,即当时,最大.此时,因此.又,所以,所以.
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