故点P坐标为(5, ),或(1,)．　
　　　

(3)设B、P、C三点的坐标为B(x₁,y₁),　P(x₂,y₂),　C(x₃,y₃)，由(2)可知：

∴PP₂=OB=．∵A (2,0),　∴P₂(1,0), ∴P (1,)．　

∴PP₁=(OB+CD)=．∵D (10,0),　∴P₁ (5,0),　∴P (5, )．  

        当点C坐标为 (2,0)时, 取OA中点P₂ ，连PP₂ ,　则PP₂为△OAB的中位线．

∴符合题意的点C存在，且坐标为 (10,16)，或(2,0)．

       ∵P为圆心，∴P为BC中点．

     　 当点C坐标为 (10,16)时，取OD中点P₁ ，连PP₁ ,　则PP₁为梯形OBCD中位线．

解得x₁=10,x₂=2．

    由　

     即1?y=2(x-2)， ∴y=2x-4． 　

        ∴a=,故y=x-x+1．
        

   (2)假设符合题意的点C存在，其坐标为C(x，y),   　　　　　　　　　　　　

     作CD⊥x轴于D ,连接AB、AC．

　　∵A在以BC为直径的圆上,∴∠BAC=90°．

    ∴ △AOB∽△CDA．

    ∴OB?CD=OA?AD．

       另解: 由抛物线过B(0,1) 得c=1．又b²-4ac=0,  b=-4ac，∴b=-1． 

        故抛物线的解析式为y=x²-x+1．