E
A1 C1
D B1
①∵面A1EC⊥侧面AC1，
∴EG⊥侧面AC1;取AC中点F，连结BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC，
②∵面ABC⊥侧面AC1，
∴BF⊥侧面AC1;得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG。
③∵BE∥侧面AC1，
∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG，
④∵BE∥AA1，
∴FG∥AA1，△AA1C∽△FGC，
⑤∵AF=FC，
∴FG=AA1=BB1，即BE=BB1，故BE=EB1。
（Ⅱ）解：分别延长CE、C1B1交于点D，连结A1D
∵EB1∥CC1，EB1=BB1=CC1，
∴DB1=DC1=B1C1=A1B1，
∵∠B1A1C1=∠B1C1A1=600，∠DA1B1=∠A1DB1=（1800-∠DB1A1）=300，
∴∠DA1C1=∠DA1B1+∠B1A1C1=900，即DA1⊥A1C1。
∵CC1⊥面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，根据三垂线定理得DA1⊥A1C
所以∠CA1C1是所求二面角的平面角。
∵CC1=AA1=A1B1=A1C1，∠A1C1C=900，
∴∠CA1C1=450，即所求二面角为450。
（23）（本小题满分10分）
某地现有耕地１0000公顷。规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到１公顷）？
（=，=）
解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷。
依题意得不等式
化简得
答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。
（24）（本小题满分12分）
已知是过点P（）的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两交点，分别为A1、B1和A2、B2。
（Ⅰ）求的斜率k1的取值范围;
（Ⅱ）若|A1B1|=|A2B2|，求的方程。
解：（Ⅰ）依题意，的斜率都存在。因为过点P（）且与双曲线有两个交点，故方程组
（1）
有两个不同的解。在方程组（1）中消去y，整理得
（2）
若，则方程组（1）只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾。
故，即。方程（2）的判别式为
设的斜率为k2,因为过点P（）且与双曲线有两个交点，故方程组
（3）
有两个不同的解。在方程组（3）中消去y，整理得
（4）
同理有，
又因为，所以有
于是，与双曲线各有两个交点，等价于
（Ⅱ）设A1（x1,y1）B1（x2,y2）.由方程（2）知
同理，由方程（4）可求得|A2B2|2，整理得
由|A1B1|=|A2B2|，得|A1B1|2=5|A2B2|2.
将（5）、（6）代入上式得
解得
取时，
取时，
（25）（本小题满分12分）
已知是实数，函数当时，
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）证明：当时，
（Ⅲ）设当时，的最大值为2，求.
（Ⅰ）证明：由条件当时，，
取x=0得，即
（Ⅱ）证法一：当时，在[-1，1]上是增函数，
由此得
当时，在[-1，1]上是减函数，
由此得
当时，
综上得
证法二：由可得
当时，有
根据含绝对值的不等式的性质，得
即
（Ⅲ）因为时，在[-1，1]上是增函数，
当x=1时取最大值2，
即
因为当时，，即
根据二次函数的性质，直线x=0为的图象的对称轴，由此得
由（1）得
所以
一九九六年（文科）
（1）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7}集合A={1，3，5，7}，B={3，5}.则 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
(A) y (B) y (C) y (D) y
o 1 x o 1 x o 1 x o 1 x
（3）若，则x的取值范围是 （ D ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）复数等于 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（5）6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有 （ C ）
（A）720种 （B）360种 （C）240种 （D）120种
（6）已知是第三象限角且，则 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（7）如果直线、与平面、、满足：和，那么必有 （ A ）
（A）且 （B）且
（C）且 （D）且
（8）当时，函数的 （ D ）
（A）最大值是1，最小值是-1
（B）最大值是1，最小值是
（C）最大值是2，最小值是-2
（D）最大值是2，最小值是-1
（9）中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆方程是
（A） （B） （ A ）
（C） （D）
（10）圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为2400，该圆锥的体积是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（11）椭圆的两个焦点坐标是 （ B ）
（A）（-3，5），（-3，-5） （B）（3，3），（3，-5）
（C）（1，1），（-7，1） （D）（7，-1），（-1，-1）
（12）将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=，则三棱锥D-ABC的体积为 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（13）等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为 （ C ）
（A）130 （B）170 （C）210 （D）260
（14）设双曲线的半焦距为c，直线过（，0），（0，）两点。已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 （ A ）
（A）2 （B） （C） （D）
（15）设是上的奇函数，，当时，，则等于 （ B ）
（A）0.5 （B）-0.5 （C）1.5 （D）-1.5
（16）已知圆与抛物线的准线相切。则p=__________
答：2
（17）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_______个（用数字作答）
答：32
(18)的值是_______
A B
F E
答：
（19）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成600的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_______
答：
（20）（本小题满分11分）
解不等式
解：（Ⅰ）当时，原不等式等价于不等式组：
因为所以
（Ⅱ）当时，原不等式等价于不等式组：
由（1）得，
由（2）得，
综上，当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
（21）（本小题满分12分）
已知△ABC的三个内角A，B，C满足：
A+C=2B，求的值。
解：由题设条件知：
B=600，A+C=1200
利用和差化积及积化和差公式，上式可化为
将代入上式并整理得
从而得
（22）（本小题满分12分）
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1
A C
B
E
A1 C1
B1
（Ⅰ）求证：BE=EB1;
（Ⅱ）若AA1=A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数。
注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）。
（Ⅰ）证明：在截面A1EC内，
过E作EG⊥A1C，G是垂足。
A F C
B
由题设知xR,>0,x>0.
由点R在椭圆上及点O，Q，R共线，得方程组
解得
由点O，Q，P共线，得
即
由题设|OQ|?|OP|=|OR|2，得
将（1）、（2）（3）式代入上式，整理得点Q的轨迹方程
所以点Q的轨迹是以（1，0）为中心，长、短半轴分别为1和且长轴在x轴上的椭圆，去掉坐标原点。
一九九六年（理科）
（1）已知全集I=N，集合，。则 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
(A) y (B) y (C) y (D) y
o 1 x o 1 x o 1 x o 1 x
（3）若，则x的取值范围是 （ D ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）复数等于 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（5）如果直线、与平面、、满足：和，那么必有 （ A ）
（A）且 （B）且
（C）且 （D）且
（6）当时，函数的 （ D ）
（A）最大值是1，最小值是-1
（B）最大值是1，最小值是
（C）最大值是2，最小值是-2
（D）最大值是2，最小值是-1
（7）椭圆的两个焦点坐标是 （ B ）
（A）（-3，5），（-3，-3） （B）（3，3），（3，-5）
（C）（1，1），（-7，1） （D）（7，-1），（-1，-1）
（8）若，则等于 （ A ）
（A） （B） （C） （D）
（9）将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=，则三棱锥D-ABC的体积为 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（10）等比数列的首项，前n项和为，若，则等于 （ B ）
（A） （B） （C）2 （D）-2
（11）椭圆的极坐标方程为，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是 （ C ）
（A）（3，0），（1，） （B）（），（）
（C）（2，），（2，） （D）（），（）
（12）等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为 （ C ）
（A）130 （B）170 （C）210 （D）260
（13）设双曲线的半焦距为c，直线过（，0），（0，）两点。已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 （ A ）
（A）2 （B） （C） （D）
（14）母线长为1的圆锥的体积最大时，其侧面展开图圆心角等于 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（15）设是上的奇函数，，当时，，则等于 （ B ）
D C
F
A B
E
（Ⅰ）证明：根据圆柱性质，
DA⊥平面ABE
∵BE平面ABE，
∴DA⊥EB.
∵AB是圆柱底面的直径，
点E在圆周上，
∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得
EB⊥平面DAE∵AF平面DAE，∴EB⊥AF
又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得
AF⊥平面DEB.∵DB平面DEB
∴AF⊥DB.
（Ⅱ）解：设点E到平面ABCD的距离为d
记AD=h，因圆柱轴截面ABCD是矩形，所以AD⊥AB。
S△ABD=AB?AD=
VD-ABE=VE-ABD=S△ABD=
又V圆柱=π?AD=，
由题设知
即
（25）（本小题满分12分）
某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴。设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似的满足关系：
当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格。
（Ⅰ）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域;
（Ⅱ）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？
解：（Ⅰ）依题设有
化简得
当判别式时，可得
解不等式组①，得不等式组②无解。
故所求的函数关系式为
函数的定义域为[0，]
（Ⅱ）为使，应有
化简得
解得
从而政府补贴至少为每千克1元。
（26）（本小题满分12分）
已知椭圆，直线.P是上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|?|OP|=|OR|2.当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
解：由题设知点Q不在原点.设P，R，Q的坐标分别为
P
R
Q
O x
（12,yP),（xR,yR),（x,y),
所以原方程的解为x=2.
（22）（本小题满分12分）
设复数求复数的模和辐角。
解：
所以复数的模为;
辐角为
（23）（本小题满分10分）
设是由正数组成的等比数列，是其前n项和。
证明
证明：设的公比为，由题设知
（1）当时，从而
（2）当时，从而
由（1）和（2）得
根据对数函数的单调性，知
即
证法二：设的公比为，由题设知
即（以下同证法一）
（24）（本小题满分12分）
如图，ABCD是圆柱的轴截面，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足。
（Ⅰ）求证：AF⊥DB;
（Ⅱ）如果AB=，圆柱与三棱锥D-ABE的体积比等于，求点E到截面ABCD的距离。
（20）四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有________种（用数字作答）
答：144
（21）（本小题满分7分）
解方程
解：设，则原方程可化为
（20）四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有________种（用数字作答）
答：144
（21）（本小题满分7分）
在复平面上，一个正方形的四顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O（其中O是原点），已知Z2对应复数。求Z1和Z3对应的复数。
解：设Z1，Z3对应的复数分别为
依题设得
（22）（本小题满分10分）
求的值。
解：原式=
（23）（本小题满分12分）
如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足。
（Ⅰ）求证：AF⊥DB;
（Ⅱ）如果圆柱与三棱锥D-ABE的体积比等于，求直线DE与平面ABCD所成的角。
D C
F
A H B
E
（Ⅰ）证明：根据圆柱性质，
DA⊥平面ABE
∵BE平面ABE，
∴DA⊥EB.
∵AB是圆柱底面的直径，
点E在圆周上，
∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得
EB⊥平面DAE∵AF平面DAE，∴EB⊥AF
又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得
AF⊥平面DEB.∵DB平面DEB
∴AF⊥DB.
（Ⅱ）解：过点E作EH⊥AB，H是垂足，连结DH.
根据圆柱性质，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交线，且EH平面ABE，
∴EH⊥平面ABCD.
又DH平面ABCD，∴DH是ED在平面ABCD上的射影，
从而∠EDH是DE与平面ABCD所成的角.
设圆柱的底面半径而R，则DA=AB=2R，于是V圆柱=2πR3，
VD-ABE=AD?S△ABE=?EH.
V圆柱:VD-ABE=3π,得EH=R.
可知H是圆柱底面的圆心，AH=R，
DH=
∴∠EDH=
（24）（本小题满分12分）
某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴。设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似的满足关系：
当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格。
（Ⅰ）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域;
（Ⅱ）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？
解：（Ⅰ）依题设有
化简得
当判别式时，可得
解不等式组①，得不等式组②无解。
故所求的函数关系式为
函数的定义域为[0，]
（Ⅱ）为使，应有
化简得
解得
从而政府补贴至少为每千克1元。
（25）（本小题满分12分）
设是由正数组成的等比数列，是其前n项和。
（Ⅰ）证明
（Ⅱ）是否存在常数c>0使得
成立？并证明你的结论。
（Ⅰ）证明：设的公比为，由题设知
（1）当时，从而
（2）当时，从而
由（1）和（2）得
根据对数函数的单调性，知
即
（Ⅱ）解：要使
成立，则有
分两种情况讨论：（1）当时，
可知，不满足条件①，即不存在常数c>0，使结论成立。
（2）当时，若条件①成立，因
且故只能有即
此时，
但时，不满足条件②，
即不存在常数c>0，使结论成立。
证法二：用反证法.假设存在常数c>0，使
，
则有
由（4）得
根据平均值不等式及（1）、（2）、（3）、（4）知
因为c>0，故（5）式右端非负，而由（Ⅰ）知，（5）式左端小于零，矛盾。
故不存在常数c>0，使
（26）（本小题满分12分）
已知椭圆，直线.P是上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|?|OP|=|OR|2.当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
解：由题设知点Q不在原点.设P，R，Q的坐标分别为
y
P
Q R
O x
（xP,yP),（xR,yR),（x,y),
其中x,y不同时为零.
当点P不在y轴上时，
由于点R在椭圆上及点O，
Q，R共线，得方程组
解得
由于点P在直线上及点O，Q，P共线，
解方程组
解得
当点P在y轴上时，经检验（1）~（4）式也成立
由题设|OQ|?|OP|=|OR|2，得
将（1）~（4）式代入上式，化简整理得
因x与xP同号或y与yP同号，以及（3），（4）知，
故点Q的轨迹方程为
所以点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点。
解法二：由题设点Q不在原点.又设P，R，Q的坐标分别为
（xP,yP),（xR,yR),（x,y),其中x,y不同时为零.
设OP与x轴正方向的夹角为，则有
由上式及题设|OQ|?|OP|=|OR|2，得
由点P在直线上，点R在椭圆上，得方程组
将（1），（2），（3），（4）代入（5），（6），
整理得点Q的轨迹方程为
所以点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点。
解法三：投影法
设P，R，Q的坐标分别为（xP,yP),（xR,yR),（x,y),其中x,y不同时为零.
由题设|OQ|?|OP|=|OR|2
设OP的方程为
这就是Q点的参数方程，消去参数k得
当P在y轴上时，k不存在，此时Q（0，2）满足方程，
故Q点轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点。
解法四：极坐标法
在极坐标系OX中，设∠POX=
由得
由得
由|OQ|?|OP|=|OR|2得即
将（1），（2）代入（3）
故Q点轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点。
一九九五年（文科）
（1）已知全集I={0，-1，-2，-3，-4，}集合M={0，-1，-2}，N={0，-3，-4}，则 （ B ）
o 1 x -1 o x o 1 x -1 o x
（A）{0} （B）{-3，-4} （C）{-1，-2} （D）
（2）函数的图象是 （ D ）
（3）函数的最小正周期是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（4）正方体的全面积是，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（5）若图中的直线的斜率分别为，则 （ D ）
O
x
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）双曲线的渐近线方程是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（7）使成立的的取值范围是 （ A ）
（A） （B） （C） （D）
（8）圆的位置关系是 （ C ）
（A）相离 （B）外切 （C）相交 （D）内切
（9）已知是第三象限角，且，那么等于
（A） （B） （C） （D）（ A ）
（10）如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，
D1 F1 C1
A1 E1 B1
D C
A B
B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成角
的余弦值是 （ A ）
（A） （B）
（C） （D）
（11）已知是x的减函数，则的取值范围是（ B ）
（A）（0，2） （B）（0，1） （C）（1，2） （D）（2，+）
（12）在的展开式中，的系数是 （ D ）
（A）-297 （B）-252 （C）297 （D）207
（13）已知直线，直线.有下面四个命题：（ D ）
① ②
③ ④
其中正确的两个命题是
（A）①与② （B）③与④ （C）②与④ （D）①与③
（14）等差数列的前n项和分别为与，若
等于 （ C ）
（A）1 （B） （C） （D）
（15）用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 （ A ）
（A）24个 （B）30个 （C）40个 （D）60个
（16）方程的解是__________
答：3
（17）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比_______
答：
(18)函数的最大值是_______
答：
（19）直线过抛物线的焦点，并且与x轴垂直，则被抛物线截得的线段长为_______
答：4
（I）设n年内（本年度为第一年）总投入为
万元，旅游业的总收入为
万元。写出、的表达式；
（II）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？（01-21-12分）
8、从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设, 并以此发展旅游产业。根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上年减少
。本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加
。
（Ⅱ）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例
应在什么范围内？（01春-21-12分）
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