21．本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．满分14分．

（Ⅰ）解：．

当时，

．

令，解得，，．

当变化时，，的变化情况如下表：

ㄋ

极小值

ㄊ

极大值

ㄋ

极小值

ㄊ

所以在，内是增函数，在，内是减函数．

（Ⅱ）解：，显然不是方程的根．

为使仅在处有极值，必须恒成立，即有．

解此不等式，得．这时，是唯一极值．

因此满足条件的的取值范围是．

（Ⅲ）解：由条件可知，从而恒成立．

当时，；当时，．

因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．

为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当

    即

在上恒成立．

所以，因此满足条件的的取值范围是．

20．本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分12分．

（Ⅰ）证明：由题设，得

，

即

．

又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），

，

，

……

．

将以上各式相加，得．所以当时，

上式对显然成立．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．

由可得，由得

，      ①

整理得，解得或（舍去）．于是

．

另一方面，

，

．

由①可得

．

所以对任意的，是与的等差中项．

19．本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间相角能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．

（Ⅰ）证明：在中，由题设，，，可得，于是．在矩形中，，又，所以平面．

（Ⅱ）解：由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角．

在中，由余弦定理得

．

由（Ⅰ）知平面，平面，

所以，因而，于是是直角三角形，

故．

所以异面直线与所成的角的大小为．

（Ⅲ）解：过点作于，过点作于，连结．

因为平面，平面，所以．又，因而平面，故为在平面内的射影．由三垂线定理可知，．从而是二面角的平面角．

由题设可得，

，，

，，

．

于是在中，．

所以二面角的大小为．

18．本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．

（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件，由题意得

，

解得或（舍去），所以乙投球的命中率为．

解法二：设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件，由题意得

，

于是或（舍去），故．

所以乙投球的命中率为．

（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知，，．

故甲投球2次至少命中1次的概率为．

解法二：由题设和（Ⅰ）知，，．

故甲投球2次至少命中1次的概率为．

（Ⅲ）解：由题设和（Ⅰ）知，，，，．

甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次．概率分别为

，

，

．

所以甲、乙两人各投球2次，共命中2次的概率为

．

17．本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦和余弦、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．

（Ⅰ）解：

               ．

由题设，函数的最小正周期是，可得，所以．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，．

当，即时，取得最大值1，所以函数的最大值是，此时的集合为．

解析：数字之和为10的情况有4，4，1，1、　4，3，2，1、　3，3，2，2．

所以共有种不同排法．

解析：，，所以系数为10．

（13）若一个球的体积为，则它的表面积为________________．

　　解析：由得，所以．

（14）已知平面向量，．若，则_____________．

　　解析：因为，所以．

（15）已知圆C的圆心与点关于直线对称．直线与圆C相交于两点，且，则圆C的方程为_______________________．

解析：圆心的坐标为，所以，圆的方程为．

（16）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________________种（用数字作答）．

15．              16．432

（1）设集合，，，则

    （A）    （B）　 （C）  （D）

解析：因为，所以，选A．

（2）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为

    （A）2   　　　　（B）3  　　　　 （C）4  　　　　（D）5

　　解析：如图，由图象可知目标函数过点时取得最大值，，选D．

（3）函数（）的反函数是

    （A）（）　　  （B）（）

（C）（）   　　（D）（）

解析：当时，，解得，选A．

（4）若等差数列的前5项和，且，则

（A）12　　   　　（B）13　　　　　 （C）14　　　　   （D）15

解析：，所以，选B．

（5）设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是

（A）  　　（B） 

 （C）   　 （D）

解析：选C，A、B、D的反例如图．

（6）把函数（）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是

（A），        （B），

（C），         （D），

解析：选C,

．

（7）设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为

（A）    （B）　 （C）  （D）

解析：抛物线的焦点为，椭圆焦点在轴上，排除A、C，由排除D，选B．

（8）已知函数，则不等式的解集是

（A）   　 （B）　 　（C）　  　（D）

解析：依题意得，选A．

（9）设，，，则

   （A）   （B）  （C）   （D）

解析：，因为，所以，选D．

（10）设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为

（A）    （B）　 （C）  （D）

解析：易得，在上单调递减，所以，故，选B．

（11）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．

　　解析：依题意知抽取超过45岁的职工为．

（12）的二项展开式中，的系数是________________（用数字作答）．

11．10           12．10           13．              14．

1．A      2．D      3．A      4．B       5．C       6．C       7．B       8．A      9．D      10．B