3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．

2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题．

1．掌握描绘函数图象的两种基本方法――描点法和图象变换法．

分析：本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证：①使log(2-ax)有意义，即a＞0且a≠1，2-ax＞0．②使log(2-ax)在[0，1]上是x的减函数．由于所给函数可分解为y=logu，u=2-ax，其中u=2-ax在a＞0时为减函数，所以必须a＞1；③[0，1]必须是y=log(2-ax)定义域的子集．

解法一：因为f(x)在［0，1］上是x的减函数，所以f(0)＞f(1)，

即log2＞log(2-a)．

解法二：由对数概念显然有a＞0且a≠1，因此u=2-ax在［0，1］上是减函数，y= logu应为增函数，得a＞1，排除A，C，再令

故排除D，选B．

说明：本题为1995年全国高考试题，综合了多个知识点，无论是用直接法，还是用排除法都需要概念清楚，推理正确．

3．函数单调性与奇偶性的综合运用

例6．甲、乙两地相距Skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km／h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km／h)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．

(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km／h)的函数，并指出这个函数的定义域；

(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶．

分析：(1)难度不大，抓住关系式：全程运输成本=单位时间运输成本×全程运输时间，而全程运输时间=(全程距离)÷(平均速度)就可以解决．

故所求函数及其定义域为

但由于题设条件限制汽车行驶速度不超过ckm／h，所以(2)的解决需要

论函数的增减性来解决．

由于vv＞0，v-v＞0，并且

又S＞0，所以即

则当v=c时，y取最小值．

说明：此题是1997年全国高考试题．由于限制汽车行驶速度不得超过c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使难度有所增大．

（二）函数的图象

3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．

这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解．

函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．

对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．

这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求．

1．对函数单调性和奇偶性定义的理解

例4．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是　　 （　　　 ）

A．1　　　　　　 B．2            C．3　　　　　　 D．4

分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误．

奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确．

若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④错误，选A．

说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零．

2．复合函数的性质

复合函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的，因变量y通过中间变量u与自变量x建立起函数关系，函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域的子集．

复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：

(1)单调性规律

如果函数u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数y=f(u)在区间[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么

若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f[g(x)]为增函数；若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=f[g(x)]为减函数．

(2)奇偶性规律

若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数．

例5．若y=log(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（ 　）

A．(0，1)     B．(1，2)      C．(0，2)       D．[2，+∞)

2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．

1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．

即当a≤0时,g(a)>0恒成立,故  ≤4.

综上讨论,x的取值范围是(,4).

例9．设集合A={}

(1)若A中有且只有一个元素,求实数a的取值集合B；

(2)当a∈B时,不等式x²-5x-6<a(x-4)恒成立,求x的取值范围.

解：(1)令t=2^x,则t>0且方程化为t²-2t+a=0  (*),A中有且只有一个元素等价于方程(*)有且只有一个正根,再令f(t)=t²-2t+a,

则Δ=0  或即a=1或a≤0,从而B=(-,0]∪{1}.

(2)当a=1时,<x<3+,

当a≤0,令g(a)=a(x-4)-(x²-5x-6),则当a≤0时不等式  恒成立,

例8．过坐标原点的直线l与椭圆相交于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的左焦点F,求直线l的倾斜角.

解：设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)

     直线l的方程为y=kx,将它代入椭圆方

程整理得   (*)

由韦达定理,(1),(2)

    又F(1,0)且AF⊥BF,∴,    即  ,

    将,代入上式整理得  ,

    将(1)式,(2)式代入,解得  .    故直线l的倾斜角为或.

注：本题设交点坐标为参数,“设而不求”,以这些参数为桥梁建立斜率为k的方程求解.