1.在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上,系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法在解题实践中的指导作用,灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题;
例7.某城市2001年末汽车保有量为30万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?
解:设2001年末的汽车保有量为,以后每年末的汽车保有量依次为,每年新增汽车万辆。由题意得
所以(b+1)2+(b-1)2-8ac<0,即2b2+2-8ac<0,即b2-4ac<-1,所以|b2-4ac|>1.
简评:从上述几个例子可以看出,在证明与二次函数有关的不等式问题时,如果针对题设条件,合理采取二次函数的不同形式,那么我们就找到了一种有效的证明途径.
Δ1=(b+1)2-4ac<0,Δ2=(b-1)2-4ac<0.
证明:由题意知,a≠0.设f(x)=a(x-x0)2+f(x0),则
又二次方程ax2+bx+c=±x无实根,故
例6.设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与两直线y=x,y=x,均不相交.试证明对一切都有.
分析:因为x∈R,故|f(x)|的最小值若存在,则最小值由顶点确定,故设f(x)=a(x-x0)2+f(x0).
2b,8≤4a≤12,-3≤-2b≤-1,所以 5≤f(-2)≤11.
(2)对这类问题的求解关键一步是,找到f(-2)的数学结构,然后依其数学结构特征,揭示其代数的、几何的本质,利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法,从不同角度去解决同一问题.若长期这样思考问题,数学的素养一定会迅速提高.
①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10,即6≤f(-2)≤10.
简评:(1)在解不等式时,要求作同解变形.要避免出现以下一种错解:
所以 3≤3f(-1)≤6. ②
建立直角坐标系aob,作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域,如图6中的阴影部分.因为f(-2)=4a-2b,所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系.如图6,当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2,1),B(3,1)时,分别取得f(-2)的最小值6,最大值10.即f(-2)的取值范围是:6≤f(-2)≤10.
解法三(利用方程的思想)
又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1),而
1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4, ①
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