例6．数列中，且满足   

⑴求数列的通项公式；

⑵设，求；

⑶设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

解：（1）由题意，，为等差数列，设公差为，

由题意得，.

（2）若，

时，

（3）

若对任意成立，即对任意成立，

的最小值是，的最大整数值是7。

即存在最大整数使对任意，均有

说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。.

五、强化训练

（一）用基本量方法解题

例5．在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，­为公差的等差数列。

⑴求点的坐标；

⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：。

⑶设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，，求的通项公式。

解：（1）

（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：

把代入上式，得，的方程为：。

，

=

（3），

T中最大数.

设公差为，则，由此得

说明：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大（1）、（2）两问运用几何知识算出，解决（3）的关键在于算出及求数列的公差。

例4、（04年重庆）设a₁=1,a₂=,a_n+2=a_n+1-a_n  (n=1,2,---),令b_n=a_n+1-a_n  (n=1,2---)求数列{b_n}的通项公式，(2)求数列{na_n}的前n项的和S_n。

      解：（I）因

故{b_n}是公比为的等比数列，且 

       （II）由

       注意到可得

       记数列的前n项和为T_n，则

例3．（04年浙江）设数列{a_n}的前项的和S_n=（a_n-1） (n₊),（1）求a_1;a_2;   (2)求证数列{a_n}为等比数列。

解: (Ⅰ)由,得 ∴ 又,即,得.

    (Ⅱ)当n>1时,

    得所以是首项,公比为的等比数列.

2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．

说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。

综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2．

由①和②得，数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3?2．

当n≥2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式．

例2．已知数列中，是其前项和，并且，

⑴设数列，求证：数列是等比数列；

⑵设数列，求证：数列是等差数列；

⑶求数列的通项公式及前项和。

分析：由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径．

解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a．(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)

a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b　　　 ①

已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　　 ②

例1．已知数列{a}是公差d≠0的等差数列，其前n项和为S．

(2)过点Q(1，a)，Q(2，a)作直线12，设l与l的夹角为θ，

证明：(1)因为等差数列{a}的公差d≠0，所以

Kpp是常数(k=2，3，…，n)．

(2)直线l的方程为y-a=d(x-1)，直线l的斜率为d．