1．导数的常规问题：

（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于次多项式的导数问题属于较难类型。

1． 假设每一架飞机引擎飞机中故障率为P，且个引擎是否发生故障是独立的，如果有至少50%的引擎能正常运行，问对于多大的P而言，4引擎飞机比2引擎飞机更安全？

解  飞机成功飞行的概率：

4引擎飞机为：

2引擎飞机为：

要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，只要

所以

则P（A）=0.05,  P(B)=0.1,

（1）至少有一件废品的概率

（2）至多有一件废品的概率

作业

例4  要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：

（1）其中至少有一件废品的概率； （2）其中至多有一件废品的概率.

解： 设事件A为“从甲机床抽得的一件是废品”；B为“从乙机床抽得的一件是废品”.

例1 猎人在距离100米处射击一野兔，其命中率为0.5，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离150米. 如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米. 已知猎人的命中概率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率.

解  记三次射击依次为事件A，B，C，其中,由，求得k=5000。

,命中野兔的概率为

例2  1个产品要经过2道加工程序，第一道工序的次品率为3%，第二道工序次品率为2%，求产品的次品率.

解  设“第一道工序出现次品“为事件A，“第二道工序出现次品”为事件B，“至少有一道工序出现次品”该产品就是次品，所求概率为

例3  如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有六个焊接点A、B、C、D、E、F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通。每个焊接点脱落的概率均是，现在发现电路不通了，那么至少有两个焊接点脱落的概率是多少？

解：

1． 在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取2件，求：

(1)  2件都是合格品的概率；

(2)  2件都是次品的概率；

(3)1件是合格品，1件是次品的概率。

解  从100件产品中任取2件的可能出现的结果数，就是从100个元素中任取2个元素的组合数，由于任意抽取，这些结果出现的可能性相等.为基本事件总数.

（1）00件产品中有95件合格品，取到2件合格品的结果数，就是从95个元素中任取2个组合数，记“任取2件都是合格品”为事件A₁，那么

（2）由于在100件产品中有5件次品，取到2件次品的结果数为.记“任取2件都是次品”为事件A₂,那么事件A₂的概率为：

（3）记“任取2件，1件是次品，1件是合格品”为种，则事件A₃的概率为：

备用课时三   相互独立事件同时发生的概率

例题

答：至少有两张牌花色相同的概率是0.8945

例3 在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：

（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.

解 （1）从20件产品中任取3件的取法有，其中恰有1件次品的取法为。

恰有一件次品的概率P=.

(2)法一 从20件产品中任取3件，其中恰有1件次品为事件A₁,恰有2件次品为事件A₂，3件全是次品为事件A₃,则它们的概率

P(A₁)= =,,,

而事件A₁、A₂、A₃彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率

P(A₁+A₂+A₃)=P(A₁)+P(A₂)+P(A₃)= .

法二 记从20件产品中任取3件，3件全是正品为事件A，那么任取3件，至少有1件次品为，根据对立事件的概率加法公式P()=

例4  1副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块4种花色，每种13张，共52张，从1副洗好的牌中任取4张，求4张中至少有3张黑桃的概率.

解  从52张牌中任取4张，有种取法.“4张中至少有3张黑桃”，可分为“恰有3张黑桃”和“4张全是黑桃”，共有种取法

注  研究至少情况时，分类要清楚。

作业

  P(A)=P(B₁)+P(B₂)+P(B₃)+P(B₄) 0.8945

解法2 设任取四长牌中至少有两张牌的花色相同为事件A，则为取出的四张牌的花色各不相同，    P（）=，

1． 袋中有a只黑球b只白球，它们除颜色不同外，没有其它差别，现在把球随机地一只一只摸出来，求第k次摸出的球是黑球的概率.

解法一：把a只黑球和b只白球都看作是不同的，将所有的球都一一摸出来放在一直线上的a+b个位置上，把所有的不同的排法作为基本事件的全体，则全体基本事件的总数为（a+b）！，而有利事件数为a(a+b-1)!故所求概率为P=。

解法二：把a只黑球和b只白球看作是不同的，将前k次摸球的所有不同可能作为基本事件全体，总数为，有利事件为，故所求概率为P=

解法三：把只考虑k次摸出球的每一种可能作为基本事件，总数为a+b，有利事件为a,故所求概率为.

备用课时二   互斥事件有一个发生的概率

例题

例1 房间里有6个人，求至少有2个人的生日在同一月内的概率.

解  6个人生日都不在同一月内的概率P()=.故所求概率为P(A)=1-P()=1-.

例2 从一副52张的扑克牌中任取4张，求其中至少有两张牌的花色相同的概率。

解法1 任取四张牌，设至少有两张牌的花色相同为事件A；四张牌是同一花色为事件B₁；有3张牌是同一花色，另一张牌是其他花色为事件B₂；每两张牌是同一花色为事件B₃；只有两张牌是同一花色，另两张牌分别是不同花色为事件B₄，可见，B₁,B₂,B₃,B₄彼此互斥，且A=B₁+B₂+B₃+B₄。

P(B₁)= , P(B₂)= ,

   P(B₃)= , P(B₄)= ,

(3)由于骰子是均匀的，将它向桌面先后抛掷2次的所有36种结果是等可能的，其中“向上的数之积是12”这一事件记为A.Card(A)=4.所以所求概率P(A)= =.

作业