例1、（2000年全国高考题）椭圆的焦点为FF，点P为其上的动点，当∠FP F为钝角时，点P横坐标的取值范围是___。

解：F₁（－,0）F₂（,0）,设P（3cos,2sin）

为钝角

∴  

     =9cos²－5＋4sin²=5 cos²－1<0

     解得：  ∴点P横坐标的取值范围是（）

点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。

4.（天津卷20）（本小题满分12分） 已知函数在处取得极值。

(I)讨论和是函数的极大值还是极小值；

(II)过点作曲线的切线，求此切线方程。

（江苏卷10）函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是  (   )

(A)1，-1        (B)1，-17       (C)3，-17       (D)9，-19

（浙江卷11）设f '(x)是函数f(x)的导函数，y=f '(x)的图象

如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是

(A)               (B)               (C)                (D)

（浙江卷20）设曲线y=e^-x(x≥0)在点M(t,e^-t}处的切线l与x轴、y轴围成的三角形面积为S(t).
(1)求切线l的方程；(2)求S(t)的最大值。

3.(天津卷9)函数)为增函数的区间是

   (A)    (B)    (C)    (D)

(i)求函数f(x)的最大值；(ii)设0<a<b,证明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.

2．（全国卷22）（本小题满分14分）已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,

1．（全国卷10）函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数（   ）

    A ()        B (π,2π)        C ()        D (2π,3π)

例10．（2001年天津卷）设，是上的偶函数。

（I）求的值；  （II）证明在上是增函数。

解：（I）依题意，对一切有，即，

∴对一切成立，

由此得到，，    又∵，∴。

（II）证明：由，得，

当时，有，此时。∴在上是增函数。

　例9．已知抛物线与直线y=x+2相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为和。

　　（1）求A、B两点的坐标； （2）求直线与的夹角。

　　分析：理解导数的几何意义是解决本例的关键。

　　解  （1）由方程组

　　    解得 A(-2，0)，B(3，5)

　　（2）由y′=2x，则，。设两直线的夹角为θ，根据两直线的夹角公式，

　　       所以

　　说明：本例中直线与抛物线的交点处的切线，就是该点处抛物线的切线。注意两条直线的夹角公式有绝对值符号。

例8．设，求函数的单调区间.

分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.

解：.

当时   .

（i）当时，对所有，有.

即，此时在内单调递增.

（ii）当时，对，有，

即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，

函数在（0，+）内单调递增

（iii）当时，令，即.

解得.

因此，函数在区间内单调递增，在区间

内也单调递增.

令，解得.

因此，函数在区间内单调递减.

例7．利用导数求和：

　　（1）；

　　（2）。

　　分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。

　　解：（1）当x=1时，

　　；

　　当x≠1时，

　　∵，

　　两边都是关于x的函数，求导得

　　即

　　（2）∵，

　　两边都是关于x的函数，求导得。

　　令x=1得

　　，

　　即。