例7．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷文史类19））

   （Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，

 点P应位于何处？

   （Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，

         点P应位于何处？

分析：本小题主要考查函数，不等式等基本知识，

考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.

    （Ⅰ）解：设P的坐标为（0，），则P至三

镇距离的平方和为

所以，当时，函数取得最小值.  答:点P的坐标是

（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为

    由解得记于是

      因为在[上是增函数，而上是减函数. 所以时，函数取得最小值. 答:点P的坐标是

  解法二：P至三镇的最远距离为

    函数的图象如图，因此，

当时，函数取得最小值.答:点P的坐标是

    解法三：因为在△ABC中，AB=AC=13，且，

           且AM=BM=CM. 当P在射线MA上，记P为P₁；当P在射线

MA的反向延长线上，记P为P₂，

这时P到A、B、C三点的最远距离为

P₁C和P₂A，且P₁C≥MC，P₂A≥MA，所以点P与外心M

重合时，P到三镇的最远距离最小.

答:点P的坐标是

例6．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.

甲

乙

丙

维生素A（单位/千克）

600

700

400

维生素B（单位/千克）

800

400

500

成本（元/千克）

11

9

4

       （1）用x，y表示混合食物成本c元；

       （2）确定x，y，z的值，使成本最低.

   解:（1）依题意得   .

（2）由 ， 得

       ，

当且仅当时等号成立.， 

 ∴当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低为850元.

说明：线性规划是高中数学的新增内容， 涉及此类问题的求解还可利用图解法.

例5．（2003年普通高等学校招生全国统一考试(理工农医类20)）

    在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.

    在时刻：（1）台风中心P（）的坐标为

此时台风侵袭的区域是

其中若在t时刻城市O受到台风

的侵袭，则有

即

答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.

3.要能熟练地处理分段函数问题.

2.二次函数、指数函数以及函数（a＞0，b＞0）的性质要熟练掌握.

说明：1.对于实际应用问题，可以通过建立目标函数，然后运用解（证）不等式的方法求出函数的最大值或最小值，其中要特别注意蕴涵的制约关系，如本题中速度v的范围，一旦忽视，将出现解答不完整.此种应用问题既属于函数模型，也可属于不等式模型.

例4．（1997年全国高考题）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v（千米／时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元.

 ① 把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数，并指出函数的定义域；

 ② 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？    

分析：几个变量（运输成本、速度、固定部分）有相互的关联，抽象出其中的函数关系，并求函数的最小值.

解：（读题）由主要关系：运输总成本＝每小时运输成本×时间，

（建模）有y＝(a＋bv)

（解题）所以全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数关系式是：

y＝S(＋bv)，其中函数的定义域是v∈(0，c] .

整理函数有y＝S(＋bv)＝S(v＋)，

由函数y＝x＋ (k>0)的单调性而得：

当<c时，则v＝时，y取最小值；

当≥c时，则v＝c时，y取最小值.

综上所述，为使全程成本y最小，当<c时，行驶速度应为v＝；当≥c时，行驶速度应为v＝c.

例3．如图，一载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶，其中

在距离O地5a（a为正数）公里北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中

   （1）求S关于p的函数关系；

   （2）当p为何值时，抢救最及时.

解：（1）以O为原点，正北方向为y轴建立直角坐标系，

则 

设N（x₀，y₀），

又B（p，0），∴直线BC的方程为：

 由得C的纵坐标

，∴

（2）由（1）得 ∴，∴当且仅当时，上式取等号，∴当公里时，抢救最及时.

4.评价：答案4.92符合城市实际情况，验算正确，所以到2000年底该市人均住房面积为4.92m.

说明：一般地，涉及到利率、产量、降价、繁殖等与增长率有关的实际问题，可通过观察、分析、归纳出数据成等差数列还是等比数列，然后用两个基础数列的知识进行解答.此种题型属于应用问题中的数列模型.

∴ 人均住房面积为≈4.92