例9．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?

解：设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，……，每年新增汽车万辆，则

            ，

所以，当时，，两式相减得：

（1）显然，若，则，即，此时

（2）若，则数列为以为首项，以为公比的等比数列，所以，.

（i）若，则对于任意正整数，均有，所以，，此时，

（ii）当时，，则对于任意正整数，均有，所以，，

由，得

，

要使对于任意正整数，均有恒成立，

即      

对于任意正整数恒成立，解这个关于x的一元一次不等式 ， 得

，

上式恒成立的条件为：，由于关于的函数单调递减，所以，.

率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）.

综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费

用最少.

损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；

④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概

③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，

1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）

解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）；

       ②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为

旦发生，将造成400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）

例8．（2004年湖北卷）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一

解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0.

，

根据题意知ξ+η=3，所以  P(η=0)=P(ξ=3)=， P(η=1)=P(ξ=2)=

P(η=2)=P(ξ=1)= ，  P(η=3)=P(ξ=0)= .

   （2）； 因为ξ+η=3，所以 

例7．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷理工农医类20））

A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A₁，A₂，A₃，B

队队员是B₁，B₂，B₃，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：

对阵队员

A队队员胜的概率

A队队员负的概率

A₁对B₁

A₂对B₂

A₃对B₃

现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η

   （1）求ξ、η的概率分布；

   （2）求Eξ，Eη.

分析：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.